一、基础达标

12

1.若实数a，b满足a＋b＝ab，则ab的最小值为( ) A.2 C.22

B.2 D.4

12

解析 由条件a＋b＝ab知a，b均为正数.因而可利用基本不等式求解. 1212由a＋b＝ab知a>0，b>0，所以ab＝a＋b≥212??a＝b，?12??a＋b＝答案 C

11

2.已知a＞0，b＞0，则a＋b＋2ab的最小值是( ) A.2 C.4

B.22 D.5

1

ab＋2ab≥4，当且仅当a＝b，ab＝1时，等号成

2

ab，即ab≥22，当且仅当

44即a＝2，b＝22时取“＝”，所以ab的最小值为22. ab，

11

解析 a＋b＋2ab≥2

立，即a＝b＝1时，不等式取最小值4. 答案 C

?1a?

3.已知不等式(x＋y)?x＋y?≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值

??为( ) A.2

B.4

C.6

D.8

axyy?1a?解析 (x＋y)?x＋y?＝1＋a＋y＋x≥1＋a＋2a＝(a＋1)2，当且仅当x＝a

??时，等号成立.

?1a?∵(x＋y)?x＋y?≥9对任意正实数x，y恒成立，∴需(a＋1)2≥9.

??∴a≥4，故选B. 答案 B

11

4.设a＞0，b＞0，若3是3与3的等比中项，则a＋b的最小值为( )

a

b

A.8 C.1

B.4 1D.4 解析 ∵3是3a与3b的等比中项， ∴(3)2＝3a·3b， 即3＝3a＋b，∴a＋b＝1.

11a＋ba＋b?ba?此时a＋b＝a＋b＝2＋?a＋b?≥2＋2＝4，

??111

当且仅当a＝b＝2时，等号成立，a＋b取得最小值4. 答案 B

5.若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________.

解析 令ab＝t(t＞0)，则由ab＝a＋b＋3≥2ab＋3(当且仅当a＝b时取等号)， 得t2≥2t＋3，即t2－2t－3≥0. 解得t≥3或t≤－1(不合题意). ∴ab≥3.

∴ab≥9，当且仅当a＝b＝3时取等号. 答案 [9，＋∞)

x6.若对任意x＞0，2≤a恒成立，则a的取值范围是________.

x＋3x＋1解析 ∵a≥

xx2＋3x＋1

＝1

， 1x＋x＋3

1

而x＋x≥2，当且仅当x＝1时等号成立. 111∴1的最大值为5，∴a≥5. x＋x＋3

?1?答案 ?5，＋∞?

??

7.某种汽车购车时费用为10万元，每年的保险、加油费用共9千元，汽车的年维修费用逐年以等差数列递增，第一年为2千元，第2年为4千元，第三年为6千元……问这种汽车使用几年后报废最合算(即汽车的年平均费用为最低)?

解 设这种汽车使用n年后报废最合算，这n年中汽车每年的平均费用为y万元.

n（n－1）10＋0.9n＋0.2n＋·0.2

210n

则y＝＝nn＋10＋1≥3. 10n

当且仅当n＝10，即n＝10时，取“＝”. 答：这种汽车使用10年后报废最合算. 二、能力提升

8.若log4(3a＋4b)＝log2ab，则a＋b的最小值是( ) A.6＋23 C.6＋43

B.7＋23 D.7＋43

解析 先判断a，b的符号，再将已知的式子转化为关于a，b的方程，最后根据基本不等式求解.

ab＞0，????a＞0，

由题意得?ab≥0，所以?

??b＞0.??3a＋4b＞0，又log4(3a＋4b)＝log2ab， 所以log4(3a＋4b)＝log4ab， 43

所以3a＋4b＝ab，故a＋b＝1.

3a4b?43?

所以a＋b＝(a＋b)?a＋b?＝7＋b＋a≥7＋

??