第四章 圆与方程

一、圆的标准方程

(x?a)?(y?b)?r222特殊：x2?y2?r2

点M(x0,y0)与圆(x?a)2+(y?b)2=r2的关系的判断方法：(1)(x0?a)2+(y0?b)2?r2,点在圆外.(2)(x0?a)2+(y0?b)2=r2,点在圆上.(3)(x0?a)2+(y0?b)2?r2,点在圆内.

二、圆的一般方程

x?y?Dx?Ey?F?0(其中D?E?4F?0)2222?1、x2和y2的系数相同，不为0.??2、没有xy这样的项.

D2E2D2?E2?4F圆的一般方程????标准方程：(x?)+(y?)=224

配方DE可知圆心为(-,?),半径r?22

D2?E2?4F2

三、直线与圆的位置关系

1、代数法??0相交Ax?By?C?0???一元二次方程??2??0相切2?x?y?Dx?Ey?F?0??0相离?

2、几何法?相交????圆心到直线的距离d??半径r?相切?????相离

说明：几何法比代数法更简便。

四、圆的切线

1、求过圆O上一点P(x0,y0)的切线l的方法：步骤：1、求kop;2、由kop?kl=-1,求出kl;3、用点斜式:y?y0?kl(x?x0),得出切线方程.

2、求过圆O外一点P(x0,y0)的圆的切线方程的方法：步骤：1、设直线为y?y0?k(x?x0),2、由d?r列出方程，解出k,从而得到切线方程.

五、圆与圆的位置关系

设圆O1与圆O2的半径分别为r1,r2.O1O2?d.则圆与圆有以下5种位置关系：（1）相离：d?r1?r2（2）外切：d?r1?r2（3）相交：r1?r2?d?r1?r2（4）内切：d?r1?r2（5）内含：d?r1?r2

说明：判断圆与圆的位置关系有代数法和几何法，几何法运算量小，是常用方法。

六、求弦长

1、几何法 AB=2r2?d2

2、代数法

弦长公式AB=1?k2x1?x2?1?k2?(x1?x2)2?4x1x2或AB=1?

112y?y?1??(y?y)?4y1y2121222kk

七、空间直角坐标系

1、空间直角坐标系

(1)点M对应着唯一确定的有序实数组(x,y,z)，x、y、z分别是P、Q、R在x、y、z轴上的坐标 (2)有序实数组(x,y,z)，对应着空间直角坐标系中的一点

(3)空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组(x,y,z)来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标， 记M(x,y,z)，x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标。

2、空间两点间的距离公式

(1)空间中任意一点P1(x1,y1,z1)到点P2(x2,y2,z2)之间的距离公式

P1P2?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(z1?z2)2

特别地，任意一点

P(x,y,z)与原点间距离 PO?x2?y2?z2

3、空间两点中点公式

A ( x ?x1?x2y1?y2z11 , y1 , z1 )， B ( x 2 , y 2 , z 2)，则AB中点为 ??2,2,?z2?2??

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