宁波市2015学年第一学期期末试卷

高三数学（理科）参考答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分． 1．A 2. B3．C 4. B 5．D 6.C7．D 8．A 二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算．多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．

9. 12，

m?n2? 10.（0，1），11. 0，-25 2m311?5?2?3?13?] 12.[,1]，[,2]13.?,?14. 15.[,2181824?22?

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分14分） 解

B?C4?sinA?251?sinA?cosA??

5:

2cos2?1?cos(B?C)?sinA?45即

3?sinA???5????????322又0?A??，且sinA?cosA?1，有??cosA?4?5?分

（1）若满足条件的?ABC有且只有一个，则有a?bsinA或a?b 则b的取值范围为(0,2]?{10}；????????7分 3（2）设?ABC的周长为l，由正弦定理得

l?a?b?c?a??2?a(sinB?sinC)sinA10[sinB?sin(A?B)]3

10[sinB?sinAcosB?cosAsinB]3????????10分 ?2?2(3sinB?cosB)?2??2?210sin(B??)?10sin????10，

其中?为锐角，且??cos??310?10?lmax?2?210，当

cBo?1s10B?0,310s时i取n10到.????????12分 此时b?asinB?10 .????????14分 sinA222（注：也可利用余弦定理a?b?c?2bccosA，结合基本不等式求解）

17．（本题满分15分）

（Ⅰ）证明：因为?ABE??ABC?又

?2，所以AB?平面BCE

，

从

而

有

EF//CD,所以

EF//平面ABCDAB//CD//EF，??????3分

所以CD?平面BCE，从而CD?CE， 又CE//DF，所以CD?DF， 又平面

DCE?F平面ABC， 所以DF?平面

ABC.????????7分（Ⅱ）过C作CH?BE交BE于H，

HK?BF交BF于K,

?AB，从而CH?平面ABEF， 因为AB?平面BCE，所以CH 所以CH?BF，从而BF?平面CHK，所以BF?KH

?即?HKC为C?BF?E的平面角，与A?BF补. ?????10分

C的平面角互

因为BC?DCEF，所以BF与平面DCEF所成角为?BFC. 由

tan?BFC?CBBC1??CF2CD2?CE2，所以

2CB2?CD2?CE2，???12分

由?ABD是等边三角形，知?CBD?30?，所以CB?3CD 令CD?a，所以CB?3a,CE?5CD?5a,

CH?1530a?a,CK?2a.

4221CH15，cos?CKH?. ?4CK41. ????????154所以sin?CKH?所以二面角A?BF?C的平面角的余弦值为?分

zFEFEKHxADBABDCyC

法二：因为CB,CD,CE两两垂直，以C为原点，CD,CB,CE所在直线为

x,y,z轴，如图建立空间直角坐标系. 不妨设CD?1.

因为BC?DCEF，所以BF与平面DCEF所成角为?BFC .

由

tan?BFC?CBBC1??CF2CD2?CE2，所以

2CB2?CD2?CE2，????9分

由

?ABD是等边三角形，知?CBD?30?，所以

CB?3,C?E5C? D5,D(1,0,0),B(0,3,0),E(0,0,5),A(2,3,0),F(1,0,5)?????

?11分

????????????????CF?(1,0,5),CB?(0,3,0)，BA?(2,0,0),BF?(1,?3,5)

??平面ABF的一个法向量n1?(x1,y1,z1)，平面CBF的一个法向量???n2?(x2,y2,z2)

???3y2?0?2x1?0则?且? ??x1?3y1?5z1?0??x2?3y2?5z2?0?????取n1?(0,5,3),n2?(?5,0,5)????????13分

??????????n?n21??. 则cos?n1,n2????1??|n1|?|n2|4?????二面角A?BF?C的平面角与n1,n2的夹角互补.

所以二面角A?BF?C的平面角的余弦值为?15分

218.解：（Ⅰ）由4m|f(x)|?4f(m)?|f(x?1)|对任意的1?x?2恒成立. 2222得4m(x?1)?4(m?1)?2x?x对任意的1?x?2恒成立.

221. ????????4整理得(4m?1)x?2x?4?0对任意的1?x?2恒成

立. ????????3分

?x2?2x?4即有m?对任意的1?x?2恒成立.

4x22?x2?2x?4?1??1?115又????????[,]. 24x?x??2x?4442故m?21?11?，则实数m的取值范围为??,?. ????????64?22?分

（Ⅱ）y?f(x1)(1?x1?2)的值域为D1?[0,3]，????????7分 令g(x)?|2f(x)?ax|即g(x)?|2x2?ax?2|.

原问题等价于当x?[1,2时，g(x)的值域为[0t,，]其中

t?3. ??????9分

令h(x)?2x2?ax?2,(1?x?2). （1）当

a?1时，即a?4时，h(1)?h(x)?h(2). 4所以h(1)h(2)?0且h(1)??3或h(2)?3. 即0?a?3且a?3或a?所

以

3. 20?a?32或

a?3. ????????11分

（2）当

a?2时，即a?8时，h(2)?h(x)?h(1) 4所以h(1)h(2)?0，无解；????????13分 （3）当1?aa?2，即4?a?8时，h()?h(x)?max{h(1),h(2)} 440所以h(2?)?6a?2，从而a?3无，

因为h(1?)?a?