本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将答题卷和机读卡一并收回。
第Ⅰ卷 （选择题 ，共 60 分）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1设集合A={1,2,3,5,7}，B={x∈Z|1
5 已知数列?an?是各项均为正数的等比数列， 若a2?2,2a3?a4?16，则an等于（ ） A、2n?2 B、23?n C、2n?1 D、2n 6 已知平面向量a，b满足|a|?1，|b|?2， 且(a?b)?a，则a与b的夹角为（ ）
5?2??? B． C． D． 6336?x17 在区间[-1，1]上随机取一个数x，cos的值介于0到之间的概率为 ( ).
221212A. B. C. D. 3?23A．
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ex8曲线f(x)?在x?0处的切线方程为（ ）
x?1 A．x?y?1?0
B．x?y?1?0
C．2x?y?1?0 D．2x?y?1?0
229圆 x?y?4x?4y?10?0上的点到直线x?y?14?0 的最大距离与最
小距离的差是 （ ） A52 B. 18 C. 62 D.36 10函数y? A、
13 43??。 Sin(x?)?cos(?x)的最大值为（ ）
226B、
13 4 C、
13 2 D、13
11 已知数列?an?是各项均为正数且公比不等于1的等比数列.对于函数y?f(x)，若数列?lnf(an)?为等差数列，则称函数f(x)为“保比差数列函数”.现有定义在
(0,??)上的如下函数：
1， ②f(x)?x2， ③f(x)?ex， ④f(x)?x， x则为“保比差数列函数”的所有序号为（ ） A．①② B．③④ C．①②④ D．②③④
①f(x)?2,x?m,?12直线y?x与函数f(x)??2的图象恰有三个公共点，则实数
?x?4x?2,x?mm的取值范围是（ ）
A．[?1,2) B．[?1,2] C．[2,??) D．(??,?1]
第Ⅱ卷 （非选择题 ，共 90 分）
二、填空题（每题4分，共16分）
1?2i13已知i为虚单位，则复数的虚部为 。
i?214某单位为了了解用电量y（度）与气温x（°C）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
由表中数据得线
??bx?a中b??2，预测当气温为?4?C时，用电量的度数约为 性回归方程y 版权所有：中华资源库 www.ziyuanku.com
气温x（°C） 用电量y（度） 18 24 13 34 10 38 －1 64 ?x?1,?15已知?x?y?1?0,则x2?y2的最小值是
?2x?y?2?0?16△ABC中，它的三边分别为a,b,c,若A=120°，a=5，则b+c的最大值为
三、解答题
xx???2x?17、（12分）已知向量m＝?3sin 4，1?，n＝?cos 4，cos4?.
?????2π?
(1)若m·n＝1，求cos?3－x?的值；
??
(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cos B＝bcos C，求函数f(A)的取值范围.
18、（12分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490，495】，（495，500】，??，（510，515】，由此得到样本的频率分布直方图，如图4
（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列；
（3）从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率。
AA1⊥面ABC，19（12分）如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，BC?AC,BC?AC?2，AA1?3，D为AC的中点. （Ⅰ）求证：AB1//面BDC1；
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（Ⅱ）求二面角C1?BD?C的余弦值； （Ⅲ）在侧棱AA1上是否存在点P，使得
CP?面BDC1？请证明你的结论. 20在等比数列{an} (n∈N*)中，a1>1，
公比q>0，设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0. (1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an； (3)试比较an与Sn的大小.
A1 B1 B
C
C1
D A
x2y221．（ 12分）已知椭圆2?2?1（a?b?0）右顶点与右焦点的距离为3?1，
ab短轴长为22.
（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为
22、（14分）已知函数f(x)?1?a1。 ?ln （a为实常数）
xx（Ⅰ）当a?1时，求函数g(x)?f(x)?2x的单调区间；
（Ⅱ）若函数f(x)在区间(0,2)上无极值，求a的取值范围；
n+11111（Ⅲ）已知n?N?且n?3，求证: ln<++++.
3345n32，求直线AB的方程． 4
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雅安中学2014-2015学年高三上期“二诊”模拟试题
数 学 试 题（理科）参考答案
一选择题:1C 2D 3A 4B 5C 6B 7A 8D 9C 10C 11C 12A
103二填空题：13 -1，14 68， 15 5， 16 3
三解答题：17（12分）
x
1＋cos 2
xx3x2x解 (1)m·n＝3sin 4·cos 4＋cos4＝2sin 2＋ 2
?xπ?1?xπ?1＋??＝sin26＋2，∵m·n＝1，∴sin?2＋6?＝2. ????
1?π??xπ?1?2π??π?cos?x＋3?＝1－2sin2?2＋6?＝2，cos?3－x?＝－cos?x＋3?＝－2. ????????(2) ∵(2a－c)cos B＝bcos C，
由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，
∴2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C.∴2sin Acos B＝sin(B＋C).
1
∵A＋B＋C＝π ∴sin(B＋C)＝sin A≠0.∴cos B＝2，
π2ππAππ
∵0 3?? 故函数f(A)的取值范围是?1，2?. ?? 18分析：（1）重量超过505克的产品数量是40?(0.05?5?0.01?5)?12件； （2）Y的所有可能取值为0，1，2； Y 0 1 2 版权所有：中华资源库 www.ziyuanku.com