第7章 静电场中的导体和电介质 习题及答案
1. 半径分别为R和r的两个导体球，相距甚远。用细导线连接两球并使它带电，电荷面密度分别为?1和?2。忽略两个导体球的静电相互作用和细导线上电荷对导体球上电荷分布的影响。试证明：
?1r? 。 ?2R证明：因为两球相距甚远，半径为R的导体球在半径为r的导体球上产生的电势忽略不计，半径为r的导体球在半径为R的导体球上产生的电势忽略不计，所以
半径为R的导体球的电势为
?1?R2?1R
?V1?4π?0R4?0
半径为r的导体球的电势为
?2?r2?2r ?V2?4π?0r4?0用细导线连接两球，有V1?V2，所以
?1r? ?2R2. 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。
证明: 如图所示，设两导体A、B的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为?1，?2，
?3，?4
（1）取与平面垂直且底面分别在A、B内部的闭合圆柱面为高斯面，由高斯定理得
??1(?2??3)?S ?E?dS?0?S?0故 ?2??3?0
上式说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反。
（2）在A内部任取一点P，则其场强为零，并且它是由四个均匀带
电平面产生的场强叠加而成的，即
?1?2?3?4????0 2?02?02?02?0又 ?2??3?0 故 ?1??4
3. 半径为R的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为d?3R处有一点电荷+q，试求：金属球上的感应电荷的电量。
解：如图所示，设金属球表面感应电荷为q?，金属球接地时电势V?0 由电势叠加原理，球心电势为
VO?14π?0R?dq?q4π?03R
?故 q???q?q??0
4π?0R4π?03Rq 34．半径为R1的导体球，带有电量q，球外有内外半径分别为R2、R3的同心导体球壳，球壳带有电量Q。
（1）求导体球和球壳的电势V1和V2； （2）如果将球壳接地，求V1和V2；
（3）若导体球接地（设球壳离地面很远），求V1和V2。
解：（1）应用均匀带电球面产生的电势公式和电势叠加原理求解。 半径为R、带电量为q的均匀带电球面产生的电势分布为
?q (r?R)?4??R ?0 V???q (r?R)?4??r0?导体球外表面均匀带电q；导体球壳内表面均匀带电?q，外表面均匀带电q?Q，由电势叠加原理知，空间任一点的电势等于导体球外表面、导体球壳内表面和外表面电荷在该
点产生的电势的代数和。
导体球是等势体，其上任一点电势为
V1?14??0(qqq?Q??) R1R2R3球壳是等势体，其上任一点电势为
V2?q4??0r??q4??0r
?q?Qq?Q?
4??0R34??0R3（2）球壳接地V2?q?Q?0，表明球壳外表面电荷q?Q入地，球壳外表面不带
4π?0R311?) R1R2电，导体球外表面、球壳内表面电量不变，所以
V1?q4??0(（3）导体球接地V1?0，设导体球表面的感应电荷为q?，则球壳内表面均匀带电?q?、外表面均匀带电q??Q，所以
V1?14??0(q?q?q??Q??)?0 R1R2R3解得 q???R1R2Q
R2R3?R1R3?R1R2V2?(R2?R1)Qq??Q ?4??0R34??0(R2R3?R1R3?R1R2)5. 两个半径分别为R1和R2（R1＜R2)的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+q，试求： (1) (2) (3)
解：(1)内球壳外表面带电?q；外球壳内表面带电为?q,外表面带电为?q，且均匀分布，外球壳上电势为
V???R2???E?dr??q4π?0r2R2dr?q4π?0R2
(2)外球壳接地时，外表面电荷?q入地，外表面不带电，内表面电荷仍为?q。所以球壳电势由内球?q与外球壳内表面?q产生，其电势为
V?q4π?0R2?q4π?0R2?0
(3)如图所示，设此时内球壳带电量为q?；则外壳内表面带电量为?q?，外壳外表面带电量为?q?q? (电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且
VA?q'4π?0R1?q'4π?0R2??q?q'?0
4π?0R2得 q??R1q R2?q?q'?R1?R2?q ?24π?0R24π?0R2外球壳的电势为
VB?q'4π?0R2?q'4π?0R2?6. 设一半径为R的各向同性均匀电介质球体均匀带电，其自由电荷体密度为?，球体内的介电常数为?1，球体外充满介电常数为?2的各向同性均匀电介质。求球内外任一点的场强大小和电势(设无穷远处为电势零点)。
解：电场具有球对称分布，以r为半径作同心球面为高斯面。由介质中的高斯定理得
??2 ?D?dS?D?4?r??qi
S43D?r?rD??，E1?
3?13?143当r?R时，?qi????R，所以
3D?R3?R3 D?2，E2??23r?23?2r球内（r?R）电势为
3R?r????R?dr??V1??E?dr??dr r3?rR3?r2123当r?R时，?qi????r，所以
??R222 ?(R?r)?6?13?2球外（r?R）电势为
3????R?R3 V2??E?dr??dr?rr3?r23?r227. 如图所示，一平行板电容器极板面积为S，两极板相距为d，其中放有一层厚度为
?相对介电常数为?r，介质两边都是空气。设极板上面电荷密度分别为+?和??，t的介质，
求：
（1）极板间各处的电位移和电场强度大小； （2）两极板间的电势差U； （3）电容C。 解：（1）取闭合圆柱面（圆柱面与极板垂直，两底面圆与极板平行，左底面圆在极板导体中，右底面圆在两极板之间）为高斯面，根据介质中的高斯定理，得
???? D?dS?D??S????S
S ∴ D??
??（空气中）?? D?0 E? ???0?r?? （介质内）????0r??（2）U?? E?dl
A?Bt?r ???（d?t）?t ?0?0?r?SU?? ??
（3）C???0?rS
?rd?(?r?1)t8. 如图所示，在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为?r的电介质，设极板面积为S，两极板上分别带电荷为?Q和?Q，略去边缘效应。试求：
（1）在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值； （2）两极板间的电势差U； （3）电容C。
??解：（1）充满电介质部分场强为E2，真空部分场强为E1，有电介质部分和无电介质部
分极板上自由电荷面密度分别为?2和?1。
取闭合圆柱面（圆柱面与极板垂直，两底面圆与极板平行，上底面圆在极板导体中，下
??底面圆在两极板之间）为高斯面，由?D?dS??q0得
D1??1，D2??2
E1?D1?0??1U? ① ?0d?E2?由①、②解得
D2?0?r?2U? ② ?0?rd?2??r ?1（2）由电荷守恒定律知，(?1??2)由① 、② 、③ 解得
S?Q ③ 2U?2Qd
(?r?1)?0S