构造拉格朗日函数：
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C??L?lnC1??lnC2???y?C1?2?
1?r??效用最大化的一阶条件为：
?L1????0 ?C1C1?L?????0 ?C2C21?r联立上述两个式子，可得：
C2???1?r? C1代入预算约束方程C1?C2?y??1?r?1??C2y，?y，可得跨时期最优消费数量为：C1?1?r1??。如图2-7所示：
图2-7 跨期消费的最优决策
（2）由上题C1?y??1?r?y?1?r?y?，C2?可以看出，当?变大时，C1变小，C21??1?1/?1????变大，如图2-8所示。
图2-8 ?变大对跨期消费的影响
当r变大时，C1不发生变化，C2变大，如图2-9所示。
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图2-9 利率上升对跨期消费决策的影响
（3）当y增大时，C1，C2都会变大，如图2-10所示。
图2-10 收入增加对跨期消费决策的影响
28．假设存在一个社会，这个社会由三个消费者组成，分别是1、2、3。同时该社会存在着两种商品，分别为x和y。经济学家Debreu对这三个消费者的消费行为进行分析，他认为1、2、3的偏好可以分别用如下的效应函数来表示：
1：u1?x,y??xy；
2：u2?x,y??x?y????0,??0?； 3：u3?x,y???lnx??1???lny?????0,1???。
（1）请画出消费者1的无差异曲线以及偏好的上等值集。
（2）假如商品x和商品y的价格分别是2单位货币和3单位货币，同时消费者1拥有120单位货币，试计算他对x和y的最优消费数量。
（3）证明：消费者2和消费者3的偏好是一致的。
（4）现在假设商品x和y的价格分别为p1，p2，消费者2拥有1单位货币，请计算他的消费选择。
（5）用公式和图像给出消费者3对于x商品的收入消费路径。 解：（1）令效用函数等于一个固定的效用常数，可得消费者1的无差异曲线为：xy?u0。这样消费者1的无差异曲线以及上等值集就可以画成如图2-11的形式。
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图2-11 无差异曲线和偏好的上等值集
（2）消费者1的效用最大化问题可以表述成：
maxU?x,y??xyx,y
s.. 2tx?3y?120
构造拉格朗日函数：
L?xy???120?2x?3y?
一阶条件为：
?L?y?2??0 ?x?L?x?3??0 ?y?L?120?2x?3y?0 ??解得：x?30，y?20。
（3）证明：对效用函数进行线性变换的结果依然是同一偏好的效用函数。对消费者2的效用函数取自然对数可以得到：
lnu2??lnx??lny
再令???，??1??，就可以得到消费者3的效用函数为：
u3?x,y???lnx??1???lny
可见，这两个函数是同一偏好的效用函数，两个消费者的偏好关系是一致的。 （4）消费者2的效用最大化问题可以表述成：
maxU?x,y??x?y?x,y
s.. tp1x?p2y?1
构造拉格朗日函数：
L?x?y????1?p1x?p2y?
上式分别对x和y求偏导就可以得到效用最大化的一阶条件，最终求解出：
?x? ?????p1985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
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y??
?????p2（5）由于偏好一致，所以消费者3和消费者2的收入消费路径是一样的。设消费者2
?I的收入为I，同（4），可求得x?。当x的价格不变时，x与I之间的数量关系就
?????p1是商品x的收入消费路径，二者是完全的线性关系，如图2-12所示。
图2-12 收入消费路径
29．某消费者的偏好由以下效用函数描述：u?x1,x2???lnx1?2lnx2?/3。其中lnx是x的自然对数。商品1和商品2的价格分别为p1，p2，消费者的收入为m。
（1）写出消费者的最大化问题。
（2）求出需求函数x1?p1,p2,m?，x2?p1,p2,m?。
（3）设p1?p2?1，画出每种商品与此价格相应的恩格尔曲线，该曲线描述了商品需求和收入之间的关系（经济学家习惯上把价格作为纵坐标）。
（4）设m?10，p2?5，画出商品1的需求曲线，该曲线描述了商品需求和价格之间的关系（经济学家习惯上把价格作为纵坐标）。
（5）判断商品1和商品2是互补品还是替代品，是正常商品还是吉芬商品。 解：（1）消费者效用最大化问题可以表述成：
max?U?x1,x2??lnx1?2lnx2x1,x2 3s.. t p1x1?p2x2?m（2）由上面的最优化条件可以构造拉格朗日函数： lnx1?lnx2???m?p1x1?p2x2? 3分别对x1、x2、?求偏导，可得一阶条件为：
L??L1???p1?0 ?x13x1?L2???p2?0 ?x23x2?L?m?p1x1?p2x2?0 ??985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
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进而可以求得需求函数为：x1?p1,p2,m??（3）当p1?p2?1时，x1?m2m，x2?p1,p2,m??。 3p13p2m2m，x2?。恩格尔曲线如图2-13所示。
33
图2-13 恩格尔曲线
（4）设当m?10，p2?5时，x1?10，商品1的需求曲线如图2-14所示。 3p1
图2-14 商品1的需求曲线
（5）由前面的计算可知：x1?p1,p2,m??m2m，x2?p1,p2,m??。 3p13p2可见，商品1和商品2的需求只取决于商品自身的价格和消费者的收入水平，而与另一
种商品的价格无关，两种商品是无关联商品。另外，两种商品的需求都是消费者收入的增函数和自身价格的减函数，所以，两种商品都是正常商品，其需求符合需求法则。
30．有一笔年度总额为C的高校教育研究基金，现有n个研究项目申请资助，xi为第i个研究项目获得的资助，xi为非负。基金管理者从这n个研究项目中所获得的总的回报为：
nnn?i11?2????ixi??ixi?，其中?i，?i均大于0。记H???，K???。试问此基金管理者如2i?1i?1?i?1?ii何分配这笔研究基金？
（1）写出最优化问题以及一阶必要条件（库恩—塔克条件）。 （2）证明：如果C?H，则有部分资金没有被分配出去。
（3）证明：如果?i?H?C，i?1,2,???,n，则每一个项目都获得了资助。 K（4）证明：如果第i个项目受到了资助，而第j个项目没有受到资助，则一定有?i??j。 985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解