5.已知平稳随机过程x的自相关函数如下，求其功率谱密度及均方，并根据所得结果说明该随机过程是否含有直流分量或周期性分量。 （ⅰ）Rx(?)?4ecos???cos3?? （ⅱ）Rx(?)?25e解答：
11（ⅰ）Px(?)??Rx(?)e?j??d???[?(??3?)??(??3?)]?8[?]
1?(???)21?(???)2???????4?cos?0??16
E(x2)?Rx(0)?4?1?5
2因为Px(0)?8[]?0，所以含有直流分量； 21??因为周期信号的自相关函数也是周期性的，而R中包含有一个周期性的成分，因此该随机过程含有周期性分量。
??11（ⅱ）Px(?)??Rx(?)e?j??d??32??(?)?50[?] 2216?(???0)16?(???0)??E(x2)?Rx(0)?25?16?41
因为Px(0)?32??50[2]?0，所以含有直流分量； 216??0因为周期信号的自相关函数也是周期性的，而R中没有包含周期性的成分，因此该随机过程不含有周期性分量。
6.设x（t）是平稳过程，y(t)?x(t)?x(t?T)，证明的y(t)功率谱是：
Py(?)?2Px(?)(1?cos?T)
解答：
?Py(?)??Ry(?)e?j??d?
????其中Ry(?)?E(y(t)y(t??))?E[(x(t)?x(t?T))?(x(t??)?x(t???T))] ?E[x(t)x(t??)?x(t?T)x(t??)?x(t)x(t???T)?x(t?T)x(t???T)] ?Rx(?)?Rx(??T)?Rx(??T)?Rx(?)
?Py(?)??Ry(?)e?j??d?????[2Rx(?)?Rx(??T)?Rx(??T)]e?j??d?
???????2Px(?)????[Rx(??T)?Rx(??T)]e?j??d? ?2Px(?)[1?e?j?T?ej?T]
???2Px(?)(1?cos?T)，得证。
7.一个随机信号x1(t)的自相关函数是R1(?)?A1eR2(?)?A2e????，另一个随机信号x2(t)的自相关函数为
，在下列条件下，分别求信号相加后x(t)?x1(t)?x2(t)的自相关函数Rx(?)。
（ⅰ）x1(t)，x2(t)相互独立；
（ⅱ）x1(t)，x2(t)来自同一信号源，只是幅度差一个常数因子K（K不为1）：x2(t)=Kx1(t)。 解答：
（ⅰ）x1(t)，x2(t)相互独立
Rx(?)?E(x(t)x(t??))?E[(x1(t)?x2(t))?(x1(t??)?x2(t??))] ?E[x1(t)x1(t??)?x2(t)x1(t??)?x1(t)x2(t??)?x2(t)x2(t??)] ?R1(?)?E[x1(t)]E[x2(t??)]?E[x1(t??)]E[x2(t)]?R2(?)
?limR1(?)?limE[x1(t)x1(t??)]?E(x1(t))?E(x1(t??))?E2[x1(t)]
???????E2[x1(t)]?0，同理?E2[x2(t)]?0
?Rx(?)?R1(?)?R2(?)?(A1?A2)e??
（ⅱ）x2(t)=Kx1(t)
由前面计算可得Rx(?)?R1(?)?E[x1(t)x2(t??)]?E[x1(t??)x2(t)]?R2(?) ?R1(?)?E[x1(t)Kx1(t??)]?E[x1(t??)Kx1(t)]?R2(?) ?R1(?)?2KR1(?)?R2(?) ?(A1?2KA1?A2)e??
8.
xn2是零均值，方差为?x的白噪过程，把它先送入一个平均器，得yn?1(xn?xn?1)，然后再将yn送2给一个差分器zn?yn?yn?1，求zn的均值、方差、自相关函数和功率谱密度。 解答： zn?yn?yn?1?111(xn?xn?1)?(xn-1?xn?2)?(xn?xn?2) 2221E(zn)?E((xn?xn?2))?0
21122222?z2?E(z2)?E(z)/2=Rzn(0) ?E[(x?x)]?E[(xn?2xnxn?2?xn)]=?xnnnn?2?244
1Rzn(1)=E(znzn?1)?E[(xn?xn?2)(xn?1?xn?1)]=0
412Rzn(2)=E(znzn?2)?E[(xn?xn?2)(xn?2?xn)]=－?x/4
4当|m|>=3，自相关都为0。
1211Rzn(m)=?x[?(m)??(m?2)??(m?2)]
222121112Pzn(w)??x[1?e-jw2?ejw2]??x[1?cos2w]
22229.随机序列
xn各次采样互相独立，且均匀分布于－1～1之间，设yn?xn?xn?1，
zn?xn?2xn?1?xn?2，wn??0.5wn?1?xn，求xn的均值和方差；yn、zn、wn的自相关函数和
功率谱。
解答：
???1均值：E(xn)????xnp(xn)dxn=??1xn0.5dxn?0
1??2?12)?xp(x)dx均方值：E(x2 ?x0.5dx???nn??nn?1nn32方差：Var(xn)=E(x2n)?E(xn)?1 32Ryn(0)?E(y2n)?E(xn?xn?1)=
2 31Ryn(1)?E(ynyn?1)?E[(xn?xn?1)(xn?1?xn)]??
3Ryn(2)?E(ynyn?2)?E[(xn?xn?1)(xn?2?xn?1)]?0，当|m|>=2时，y的自相关函数都为零
12112Ryn(m)=[2?(m)??(m?1)??(m?1)]，Pyn(w)?[1?e-jw?ejw]?[1?cosw]。
322332Rzn(0)?E(z2n)?E(xn?2xn?1?xn?2)=2
Rzn(1)?E(znzn?1)?E[(xn?2xn?1?xn?2)(xn?1?2xn?xn?1)]?4 31Rzn(2)?E(znzn?2)?E[(xn?2xn?1?xn?2)(xn?2?2xn?1?xn)]?，
3当|m|>=3时，z的自相关函数都为零
1Rzn(m)=[6?(m)?4?(m?1)?4?(m?1)??(m?2)??(m?2)]，
3182Pzn(w)?[6?4e-jw?4ejw?e?2jw?ej2w]?2?cosw?cos2w。
33322Rwn(0)?E(w2n)?E(xn?0.5wn?1)=E(xn)?E(xnwn?1)?1E(w2n?1)，由于中间一项为零，所以有 4Rwn(0)=
44=， E(x2)n39
Rwn(1)?E(wnwn?1)?E[(xn?1?0.5wn)wn]??0.5Rwn(0)
Rwn(2)?E(wnwn?2)?E[wn(xn?2?0.5wn?1)]?-0.5Rwn(1)?(?0.5)2Rwn(0)，
所以Rwn(m)=(?0.5)Rwn(0)?m4m(?0.5)， 9j?41?0.5e4mPwn(?)?DTFT[Rwn(m)]?DTFT。 ?)?[(?0.5)]?(591?0.5e?j?1?0.5ej?9?cos?413
第四章 数字卷积和数字相关
1.设x=[1 2 3 4]；h=[4 3 2 1]；求conv(x,h)、filter(h,1,x)、filter(x,1,h)的结果，并写出后两个函数对应的传递函数。 解答：
conv(x,h) ＝[4 11 20 30 20 11 4]
由于卷积的前后互换性，filter(h,1,x)＝filter(x,1,h)＝[4 11 20 30] H1（z）＝4?3z?1?2z?2?z?3，H2（z）＝1?2z?1?3z?2?4z?3
2.输入到线性系统的平稳随机过程x是零均值、方差为1，输出信号的功率谱为
Sy(ej?)?解答：
1。要求该系统稳定。 ,a?0.5，求此系统的传递函数H（Z）21?2acos??a?Sx(ej?)?1,
Sy(e)?Sx(e)H(e)?H(e)?因为系统要求稳定
j?j?j?2j?21,a?0.5，
1?2acos??a2?H(ej?)?11,H(z)? ?j??11?0.5e1?0.5z
3.列举相关技术在生物医学信号处理中的部分应用。
解答：
从噪声中检测信号，例如检测超声脉冲回波。
估计两个相似信号的时间延迟，例如测定微血管中的红血球流速，提取脑电诱发响应。 用于生物系统的辨识等。
N-m-1?(m)?1?xx，估计是否为无偏估计？是否为一致估计？ 4.估计相关函数时如果采用Rxnn?mNn?0解答：
偏差：?(m)]?E[RxN?m1N?m?1E[xx]?Rx(m)?nn?mNn?0N?(m)]?R(m)N??,E[Rxx?(m)]?0，偏差了R(N)m越大，偏差越大，m?N时，E[Rxx所以不是无偏估计，但是渐进无偏。
估计的方差当N无穷时，趋于零。
因此该估计法是一致估计。
5.已知心电图的频率上限约为50Hz，采集数据时候的采样频率至少为多少？如果采样频率为300Hz，要求的频率分辨率为1Hz，试确定做谱估计时每段数据的点数。 解答：
由于采样频率至少要为信号最高频率的两倍，所以这时采样频率至少要为100Hz。
fsf，N?s?300，做谱估计时每段数据的点数要大于300，考虑DFT的计算，最好取2的N?f幂次，可以取512点数据，或者补零到512点长。 ??f?第五章 维纳滤波
x(n)?s(n)?n(n)?(n)y(n)?s 以下三题的系统模型图都参看该图。
1.设上图滤波器的方程是yn?xn?xn-1，输入sn是确定性信号sn=bn，b是常数。nn是白噪序列，零均
2值，方差为?n。求
h(n)（ⅰ）输出中的信号分量；