第一章习题答案
1. 设总量函数为A(t) = t2 + 2t + 3 。试计算累积函数a(t) 和第n 个时段的利息 In 。
解: 把t = 0 代入得A(0) = 3 于是: a(t) = A(t) A(0) =
t2 + 2t + 3 3
In = A(n) ? A(n ? 1)
= (n2 + 2n + 3) ? ((n ? 1)2 + 2(n ? 1) + 3))
= 2n + 1
2. 对以下两种情况计算从t 时刻到n(t < n) 时刻的利息: (1)Ir(0 < r < n); (2)Ir = 2r(0 < r < n). 解: (1)
I = A(n) ? A(t)
= In + In?1 + ? ? ? + It+1 =
n(n + 1) 2
? t(t + 1)
2 (2)
I = A(n) ? A(t)
= Σn k=t+1 Ik = Σn k=t+1
Ik = 2n+1 ? 2t+1
3. 已知累积函数的形式为: a(t) = at2 + b 。若0 时刻投入的100 元累积到3 时刻 为172 元，试计算：5 时刻投入的100 元在10 时刻的终值。 第1 页
解: 由题意得
a(0) = 1, a(3) = A(3) A(0) = 1.72
? a = 0.08, b = 1
∴ A(5) = 100
A(10) = A(0) ? a(10) = A(5) ? a(10) a(5)
= 100 × 3 = 300. 4. 分别对以下两种总量函数计算i5 和i10 :
(1) A(t) = 100 + 5t; (2) A(t) = 100(1 + 0.1)t. 解： (1) i5 =
A(5) ? A(4) A(4)
= 5 120
≈ 4.17% i10 =
A(10) ? A(9) A(9)
= 5 145
≈ 3.45% (2) i5 =
A(5) ? A(4) A(4)
=
100(1 + 0.1)5 ? 100(1 + 0.1)4 100(1 + 0.1)4 = 10% i10 =
A(10) ? A(9)
A(9)
=
100(1 + 0.1)10 ? 100(1 + 0.1)9
100(1 + 0.1)9 = 10% 第2 页
5.设A(4) = 1000, in = 0.01n. 试计算A(7) 。 解:
A(7) = A(4)(1 + i5)(1 + i6)(1 + i7) = 1000 × 1.05 × 1.06 × 1.07 = 1190.91
6. 试计算500 元经过两年半的累积达到615 元的对应年单利率？另外，500 元以 单利率7.8% 累积多少时间可以达到630 元？ 解: 设年单利率为i 500(1 + 2.5i) = 615 解得i = 9.2%
设500 元需要累积t 年
500(1 + t × 7.8%) = 630 解得t = 3 年4 个月
7. 已知单利率为4% ，问：经过多少时间它对应的实利率可以达到2.5% ？ 解: 设经过t 年后，年利率达到2.5% 1 + 4% × t = (1 + 2.5%)t t ≈ 36.367
8. 已知：(1 + i)5 = X, (1 + i)2 = Y. 求(1 + i)11. 解:
(1 + i)11 = (1 + i)5+2￡3 = XY 3
9. 已知600 元投资两年将产生利息264 元（复利方式），问：2000 元以同样的实 利率投资3 年的终值。 第3 页
解: 设实利率为i 600[(1 + i)2 ? 1] = 264
解得i = 20%
∴ A(3) = 2000(1 + i)3 = 3456 元
10. 已知：第n 年底的一个货币单位与第2 年底的一个货币单位的现值之和为一 个货币单位。计算(1 + i)2n. 解: 设实利率为i 1
(1 + i)n + 1
(1 + i)2n = 1 解得(1 + i)?n =
√ 5 ? 1
2
所以(1 + i)2n = (
√ 5 ? 1 2 )?2 = 3 +
√ 5 2
11. 已知：500元经过30年的投资将增为4000元，计算：分别在第20、40和60年底 投资10,000元的现值之和。 解:
由500×(1 + i)30 = 4000 ? (1 + i)30 = 8
于是PV = 10000
(1 + i)20 + 10000
(1 + i)40 + 10000
(1 + i)60
= 1000 × (8?2 3 + 8?4 3 + 8?2) = 3281.25
12.以同样的实利率，1元经过a年增为2元，2元经过b 年增为3元，3元经过c年增 为15元。若已知6元经过n年增为10元。试用a,b和c表示n。 第4 页 解:
(1 + i)a = 2 (1) (1 + i)b = 3 2 (2)
(1 + i)c = 5 (3) (1 + i)n = 5 3 (4)
(4) ? n ? ln (1 + i) = ln 5 ? ln 3 (3) ? ln 5 = c × ln (1 + i)
(1) × (2) ? ln 3 = (a + b) ? ln (1 + i) 故n = c ? (a + b)
13. 已知资本A在一年内产生的利息量为336，产生的贴现量为300。计算A。 解:
A ? i = 336 A ? d = 300 i ? d = i ? d ? A = 2800
14. 分别在单利率10%和单贴现率10%的条件下，计算d5。 解: (1) d5 =
a(5) ? a(4) a(5)
= 10%
1 + 5 × 10% = 6.67% 第5 页 (2)
a?1(t) = 1 ? 0.1t ? a(t) =
1 1 ? 0.1t ? d5 = a(5) ? a(4) a(5)