= 1 0.5

? 1

0.6 1 0.5

= 16.67%

15. 试用i(3)表示d(4)，用d(12)表示i(6)。 解: 由(1 + i(3) 3

)3 = (1 ? d(4) 4 )(?4)

? d(4) = 4 ? [1 ? (1 + i(3)

3 )?3 4 ] 由(1 + i(6) 6

)6 = (1 ? d(12) 12

)(?12)

? i(6) = 6 ? [(1 ? d(12)

12 )?2 ? 1]

16. 在以下两种情况下计算100元在两年底的终值：季结算名利率6%；每四年结 算一次的名贴现率为6%。

解: (1) 终值为100 × (1 + i(4) 4 )4￡2 = 112.65元

(2) 终值为100 × [(1 ? 4d( 1 4 )) 1

4 ]?2 = 114.71元

17. 已知:i(m) = 0.1844144和d(m) = 0.1802608。计算m。 解: 利用1 d(m)

? 1 i(m) = 1 m ? m = 8

18. 基金A以单利率10%累积，基金B以单贴现率5%累积。计算两个基金的利息 力相等的时刻。 第6 页 解:

aA(t) = 1 + 0.1t ? δA(t) = a0 A(t) aA(t)

= 0.1

1 + 0.1t a?1

A (t) = 1 ? 0.05t ? δB(t) = ?(a?1 B (t))0 a?1 B (t)

= 0.05 1 ? 0.05t 由δA(t) = δB(t)得 t = 5

19. 一年期投资的累积函数为二次多项式，前半年的半年名利率为5%，全年的实 利率为7%，计算δ0.5。

解: 依题意，累积函数为a(t) = at2 + bt + 1

a(0.5) = 0.25a + 0.5b + 1 = 1.025 a(1) = a + b + 1 = 1.07

?

a = 0.04 b = 0.03 于是 δ0.5 = a0(0.5) a(0.5) = 0.068

20. 已知：帐户A的累积函数为:1 + t2,帐户B的累积函数为:1 + 2t + t2。计算帐 户A的利息力超过帐户B的利息力的时刻。 解: 依题意，δA(t) = 2t 1+t2 , δB(t) = 2 1+t 由δA(t) > δB(t)

? 2t 1 + t2 > 2 1 + t ? t > 1

21．已知季结算名贴现率为8%，分别对以下两种情况计算25个月底的5000元在当 前的现值：全部采用复贴现；在最后的不足年份内采用单贴现。 解： d(4) = 8%，设复利下月实贴现率为d，单利下实利率为d0。 全部采用复利： (1 ? d)3 = 1 ? 8% 2

第7 页

PV = 5000(1 ? d)25 = 4225.25

前两年用复利： 1 ? 3d0 = 1 ? 8% 2

PV = 5000(1 ? d)24(1 ? d0) = 4225.46

22．为了在第4年底收益2000元、10年底收益5000元，当前选择这样的投资：前两 年每年初投入2000元、第3年初再投入一部分。已知季结算名利率6%，计算第3年 初投入的金额。(原来的答案有误) 解： i(4) = 6% ，则i = (1 + 6% 4 )4 ? 1 = 6.14%

设第3年初投入X,以第3年初为比较日，列价值方程

2000(1 + i)2 + 2000(1 + i) + X = 2000v2 + 5000v8 解得X = 504.67 元

23．在一定的利率下，下面两种付款方式等价：1〕第5年底支付200元，第10年底 支付500元；2〕第5年底一次性支付400.94元。另外，以同样的利率现在投资100元 再加上第5年底投资120元，这些投资在第10年底的终值为P。试计算P。 解： 对两种付款方式，以第5年为比较日，列价值方程： 200 + 500v5 = 400.94 解得v5 = 0.40188 所以

P = 100(1 + i)10 + 120(1 + i)5 = 917.762

24．经过多少时间1000元以利率6%累积的终值是利率4%累积终值的两倍？ 解：

1000(1 + 6%)t = 2 × 1000(1 + 4%)t 解得： t = 36 年

25．已知年利率为8%，且第n年底和2n年底投入100元的现值之和为100元，计 算n。 第8 页

解： 列价值方程为 100vn + 100v2n = 100 解得n = 6.25

26．基金A以月换算名利率12%累积；基金B以利息力δt = t 6

累积，初始时刻两基

金本金相同，计算两基金累积额相同的下一个时刻。 解： δt = 1

6 t，得基金B的积累函数为 aB(t) = exp( ∫ t 0

δsds) = exp( t2 12 )

欲使aA(t) = aB(t) 则 (1 + 1 12

i(12))12t = exp( t2 12 )

解得t = 1.4

27.计算1000元在第15年底的终值为3000元的半年换算名利率。 解： 1000(1 + i)15 = 3000

则i(2) = ((1 + i) 1

2 ? 1) × 2 = 7.46%

28．已知现金流：当前投入300元、第1年底投入200元和第2年底投入100元，在 第2年底的终值为700元。计算实利率。 解： 列价值方程为

300(1 + i)2 + 200(1 + i) + 100 = 700 解得i = 11.96%

29．已知货币的价值以利息力δt = kt积累，在十年内增长了一倍，计算k。(原来 的答案有误)

解： δt = kt 则积累函数为 a(t) = exp ∫ t 0

ksds = exp(

k 2 t2)

由a(10) = 2 得e50k = 2 解得k = 0.0139 第9 页

30．已知一个货币单位的本金以实利率i累积到第三年底的终值再加上第3年底的 一个货币单位的资本以实贴现率i 贴现的的现值之和为2.0096，计算i。 解：

(1 + i)3 + (1 ? i)3 = 2.0096

解得i = 0.04

31. 现有实利率为的投资项目。证明：一个货币单位的本金在第二个计息期的利 息收入与第一个计息期的利息收入之差为。试给出这个结论的实际背景解释。 解： 一个货币单位在第一个计息期内的利息收入j，第二个计息期内的利息收 入j + j2,故差为j2,即第一期利息产生的利息。 32.某杂志社提供下面两种预定杂志的方式： A）现在付款15元，6个月后付款13.65元 B〕现在一次性付款28元。

如果两种方式无差异，计算隐含的年实利率。(将原题中的16元改成13.65元，这 样结果更加符合实际) 解： 设半年实利率为i 0，则有： 15(1 + i 0 ) + 13.65 = 28(1 + i 0 )