解： d = 10%，则i = 1 1?d ? 1 = 1 9

a¨￢8p = (1 + i) 1 ? v8

i = 5.6953 10.求证：

(1) a¨￢np = a￢np + 1 ? vn； (2) s¨￢np = s￢np ? 1 + (1 + i)n 并给出两等式的实际解释。 证明： (1)a¨￢np = 1?vn d = 1?vn i 1+i = 1?vn i + 1 ? vn 所以a¨￢np = a￢np + 1 ? vn (2)s¨￢np = (1+i)n?1 d = (1+i)n?1 i 1+i = (1+i)n?1 i + (1 + i)n ? 1

所以a¨￢np = s￢np ? 1 + (1 + i)n 第2 页

12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利 率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终 值。 解：

PV = 100a49p1.5% ￢ ? 100a2p1.5% ￢ = 3256.88 AV = 100s49p1.5% ￢ ? 100s2p1.5% ￢ = 6959.37

13.现有价值相等的两种期末年金A和B。年金A在第1－10年和第21－30年中每 年1元，在第11－20年中每年2元；年金B在第1－10年和第21－30年中每年付款金 额为Y ，在第11－20年中没有。已知：v10 = 1 2

，计算Y 。

解： 因两种年金价值相等，则有

a30pi ￢ + a10pi ￢ v10 = Y a30pi ￢ ? Y a10pi ￢ v10 所以Y = 3?v10?2v30 1+v10?2v30 = 1.8

14.已知年金满足：2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36；另 外，递延n年的2元n 期期末年金的现值为6。计算i。

解： 由题意知，

2a2npi ￢ + 3anpi ￢ = 36 2anpi ￢ vn = 6 解得i = 8.33% 15.已知 a￢7p a1￢1p =

a￢3p + sX￢p aY￢p + sZ￢p 。求X，Y和Z。 解： 由题意得 1 ? v7 1 ? v11 = (1 + i)X ? v3 (1 + i)Z ? vY 解得

X = 4, Y = 7,Z = 4

16.化简a1￢5p (1 + v15 + v30)。 解：

a1￢5p (1 + v15 + v30) = a4￢5p 第3 页

17.计算下面年金在年初的现值：首次在下一年的4月1日，然后每半年一 次2000元，半年结算名利率9%。

解： 年金在4月1日的价值为P = 1+4.5% 4.5%

× 2000 = 46444.44 ，则 PV =

P (1 + i)2+2 3

= 41300.657

18.某递延永久年金的买价为P，实利率i，写出递延时间的表达式。 解： 设递延时间为t，有 P = 1

i vt 解得t = ? ln iP ln(1+i)

19.从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。从第三十年底开始每年领取一 定的金额X，直至永远。计算X。

解： 设年实利率为i，由两年金的现值相等，有 1000¨a20pi ￢ =

X i v29

解得X = 1000((1 + i)30 ? (1 + i)10)

20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代A、B、C、和D：前n年，A、B和C三人 平分每年的年金，n年后所有年金由D一人继承。如果四人的遗产份额的现值相 同。计算(1 + i)n 。

解： 设遗产为１，则永久年金每年的年金为i，那么A,B,C得到的遗产的现值 为i 3anpi ￢ ，而D得到遗产的现值为vn。由题意得 1 ? vn 3 = vn 所以(1 + i)n = 4

21.永久期末年金有A、B、C、和D四人分摊，A接受第一个n年，B接受第二

个n年，C接受第三个n 年，D接受所有剩余的。已知：C与A的份额之比为0.49， 求B与D的份额之比。 第4 页

解： 由题意知

PVC PVA =

a￢np v2n a￢np = 0.49

那么

PVB PVD =

a￢np vn 1

i v3n = 0.61

22.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最 后一次的还款大于100元。计算最后一次还款的数量和时间。 解：

100anp4.5% ￢ v4 < 1000 100an+1p4.5% ￢ v4 > 1000 解得n = 17 列价值方程

100a16p4.5% ￢ + Xv21 = 1000 解得X = 146.07

23.36年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；两者现值相等。如果 以同样的年利率计算货币的价值在n年内将增加一倍，计算n。

解： 两年金现值相等，则4 × a36pi ￢ = 5 × 18，可知v18 = 0.25 由题意，(1 + i)n = 2 解得n = 9

24.某借款人可以选择以下两种还贷方式：每月底还100元，5年还清；k个月后一 次还6000元。已知月结算名利率为12%，计算k。 解： 由题意可得方程

100a60p1% ￢ = 6000(1 + i)?k 解得k = 29

25.已知a2pi ￢ = 1.75，求i。 解： 由题意得 1 ? v2 = 1.75i 解得i = 9.38%

26.某人得到一万元人寿保险赔付。如果购买10年期末年金可以每年得到1538元，20年 的期末年金为每年1072元。计算年利率。 解： 第5 页

27.某人在银行中存入一万元10年定期存款，年利率4%，如果前5年半内提前支 取，银行将扣留提款的5% 作为惩罚。已知：在第4、5、6和7年底分别取出K元， 且第十年底的余额为一万元，计算K 。 解： 由题意可得价值方程

10000 = 105Ka2p4% ￢ v3 + Ka2p4% ￢ + 10000v10 则K = 10000?10000v10 105a2p4% ￢ v3+a2p4% ￢ v5 = 979.94

28.贷款P从第六个月开始分十年逐年还清。第一次的还款额为后面还款的一半， 前四年半的年利率为i，后面的利率为j。计算首次付款金额X的表达式。 解： 选取第一次还款日为比较日，有价值方程 P(1 + i) 1

2 = X + 2Xa4pi ￢ + 2Xa5pj ￢ (1 + i)?4 所以 X =

P(1 + i) 1 2

1 + 2a4pi ￢ + 2a5pj ￢ (1 + i)?4

29.已知半年名利率为7%，计算下面年金在首次付款8年后的终值：每两年付 款2000元，共计8次。 解：

30.计算下面十年年金的现值：前5年每季度初支付400元，然后增为600元。已知 年利率为12%。（缺命令） 解：

PV = 4 × 400 + 4 × 600v5 = 11466.14

31.已知半年结算的名贴现率为9%，计算每半年付款600元的十年期初年金的现

值表达式。 解：

32.给出下面年金的现值：在第7、11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。 解： PV = 1

s4pi ￢ a24pi ￢ v3 = (1 + i)24 ? 1

(1 + i)27[(1 + i)4 ? 1] =

a2￢8p ? a￢4p s￢3p + s￢1p

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33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R元的30年期末 年金代替，半年换算名利率4%，求R的表达式。

解： 设年实利率为i，则(1 + 2%)2 = 1 + i。有题意得 750

i + 750

s20pi ￢ i = Ra30pi ￢ 解得R = 1114.77

34.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91，计算年利率。 解： 由题意知 1

is3pi ￢ = 125 91

解得i = 20%

35.已知：1元永久期初年金的现值为20，它等价于每两年付款R元的永久期初年 金，计算R。 解： 由题意得 20 = 1

d =

R a2pi ￢ i 解得R = 1.95

36.已知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。试用贴现率表示递延 时间。

解： 设贴现率为d，则1 + i(2)