时间加权法 1 + i =

B ? D A ? C B i = (B ? D) C A B ? 1

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(4) 资本加权法主要以资本量为衡量标准，所以在6 月底余额计算前投入还 是后投入，对收益率没有影响。

(5) (2)中时间加权法的结果较大的原因是D从计算余额后投入时，认为这部 分资本在下半年产生了利息，而在计算余额前投入，相比较而言，若这部分资本 D 是在上半年投入的，则没有产生利息，所以收益率偏大。

18 已知：当t = 1, 2, 3, 4, 5 且y = 1, 2, ? ? ? 10 时，有 1 + iy t = (1.08 + 0.005t)1+0.01y 如果在y = 5 时投资1000 元，持续3 年。计算等价的均衡利率。 解：设等价的均衡利率为i ，利用投资年方法的计算公式有 (1 + i51 )(1 + i52 )(1 + i53 ) = (1 + i)3 代入数据得到 i ≈ 9.469%

19 基金X 在1991 年元旦的单位价值为1.0 元，在1991 年7 月1 日的单位价值 为0.8 元，在1992 年元旦的单位价值为1.0 元，如果某投资者在1991 年元旦 和7 月1 日分别投入10 元。分别用资本加权法和时间加权法计算该投资者 在1991年的收益。 解：资本加权法，

A = 10,C = 10,B = 10 + 10 × 1 0.8 = 22.5

得到I = 2.5 i = 2.5 10 + 1 2 × 10 = 16.67% 时间加权法 i =

0.8 1 × 1 0.8 ? 1 = 0

20 某汽车交易市场中可以用两种方式购买二手车：马上付款5000 元；或者，现 付2400 元，然后每年底付款1500 元，两年付清。若某购车者的最小可接 受的年收益率为10%，问其选择哪个方式购买？

解：以最小可接受的年收益率算得购车者以第二种方式购车的现值为： 2400 + 1500(1 + i)?1 + 1500(1 + i)?2 = 5003.31 元> 5000 第8 页

所以应该选择第一种方式付款。

21 如果投资者的可接受利率为12%，说明第3 题的项目是否可以接受。 解：用Excel规划求解内部收益率得 r ≈ 9.56% < 12%

所以可以接受这个项目。

22 如果例子3.19 的项目回报率为15%，计算相应的项目融资利率f 。 解：利用r,f 之间的关系式： 1 + r = 10000 1600 (1 ? 1 1 + f )

把r = 15% 代入 解得：f = 22.55%

23 已知某项目前五年的现金流如表3-13 所示。若r = 15%, f = 10%，计算B5。 表3-13

t 0 1 2 3 4 5

Ct 1000 2000 -4000 3000 -4000 5000 解：

B0 = C0 = 1000

B1 = B0(1 + r) + C1 = 3150 B2 = B1(1 + r) + C2 = ?377.5 B3 = B2(1 + f) + C3 = 2584.75 B4 = B3(1 + r) + C4 = ?1027.54 B5 = B4(1 + f) + C5 = 3869.71 第9 页

24 现有某一种投资，若利息收入要扣除25%的收入税。估计在今后20 年内可 以达到年利率8%注：税前，计算在20年底，利息累积额下降的比例。 解：税后的等价利率为8% × 3/4 = 6%,从而利息累积额下降比例为 1.0820 ? 1.0620 1.0820 ? 1 = 39.7%

25 某人需要800 元借款，有以下两种方式偿还： (1) 只借800 元，然后期末一次偿还900元； (2) 先借1000 元，期末偿还1120 元。

如果最小可接受的利率为10%，分析其选择。 解：对于第一种方式，期末的现值为： 800(1 + 10%) ? 900 = ?20 元 对于第二种方式，期末现值为： 1000(1 + 10%) ? 1100 = ?20 元 所以两种方式是等价的。 此题有待讨论。

26 保险公司将寿险保费的收入建立基金，年底计息。受益人可以在今后10 年 的每年底从基金中取款，若保单的最低年利率为3%时，每年的取款金额为 1000 元。然而，保险公司的基金投资利率为：前四年4%，后六年5%。因而， 实际取款金额为： Wt =

Ft ¨a11?tp3% ￢ , t = 1, 2, . . . , 10

其中Ft 表示基金在时刻t(t = 0 去掉, 1, 2, . . . , 10) 的余额。计算W10 。

解：由递推公式 Wt =

Ft ¨a11?tp3% ￢ , Fn+1 = Fn ?Wn 整理得

Ft+1 = Ft ? 1.03 + ? ? ? + 1.0310?t 1 + 1.03 + ? ? ? + 1.0310?t , t = 1 . . . 9 第10 页

F10 = F1 × 1.039

1 + 1.03 + ? ? ? + 1.039 = 1000 × ¨a10p3% ￢ × 1.039 ¨a10p3% ￢ = 1000 × 1.039 = 1304.77 W10 = F10

¨a1p3% ￢ = 1304.77 元 与原答案有出入。

27 某基金在1 月1 日的余额为273000 元，在12 月31 日的余额为372000元。该 基金一年的利息收入为18000 元，收益率6%。计算平均的存取款日期。 解：由题意有

A = 273, 000 B = 372, 000 I = 18, 000 C = B ? A ? I = 81000 i =

I A + C(1 ? t)

= 6% ∴ t = 2 3

所以平均的存取款日期是9 月1 日。 第11 页

28 某基金的投入为连续方式，起始余额为1，t 时刻的投入为1+t，利息力函数 为(1 + t)?1。计算n 年末的终值。 解：

期初的现值为： a(n) = a(0) + ∫ n 0

(1 + x)exp{? ∫ n 0

(1 + t)?1dt}dx = 1 + ∫ n 0

(1 + x) ? 1 1 + x dx = 1 + n n 年末的终值为 AV = a(n) ? exp{ ∫ n 0

(1 + t)?1dt} = (1 + n) ? (1 + n) = (1 + n)2

29 某基金在1991 年和1992 年间的运作情况如表3-14 所示。用时间加权法计 算这两年的收益率。 表3-14

日期1/1/91 1/7/91 1/1/92 1/7/92 1/1/93

基金价值/元1000000 1310000 1265000 1540000 1420000 投入/元250000 250000 取出/元150000 150000

解：根据题意，所求收益率为： ( 131 ? 25 100

× 126.5 + 15 131

× 154 ? 25 126.5

× 142 + 15

154 ) 1 2 ? 1 = 9.10247%

应注明投资和支取是在计算余额前投入的！ 第12 页

30 某互助基金的初始单位价值为10000，在随后的5 年底的价值为：11710 元， 12694 元，14661 元，14148 元和16836 元，有三个投资者A、B 和C，投资 情况如表3-15 所示。

(1) 用时间加权法计算该基金在5 年中的年平均收益率； (2) 用资本加权法计算每个投资者在5 年中的年平均回报率。 表3-15

时间第1 年底第2 年底第3 年底第4 年底第5 年底 A 1000 2000 3000 4000 5000 B 3000 3000 3000 3000 3000 C 5000 4000 3000 2000 1000 解：(1) 有资本加权法有： (1 + i)5 = 11710 10000 × 12694 11710 × 14661 12694 × 14148 14661 × 16836 14148

∴ i = 10.99% (2) 对于投资者A, B0 = 0

B1 = C1 = 1000 B2 = B1 × 12694 11710

+ C2 = 3084.03 B3 = B2 × 14661 12694