数值分析原理习题答案
【篇一：数值分析习题】
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习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为0.5?10,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 2 ??3.14159?具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）
3 已知a?1.2031，b?0.978是经过四舍五入后得到的近似值，问a?b，a?b有几位有效数字？（有效数字的计算）
4 设x?0，x的相对误差为?，求lnx的误差和相对误差？（误差的计算） **
5测得某圆柱体高度h的值为h?20cm，底面半径r的值为r?5cm，已知 ?5
|h?h*|?0.2cm，|r?r*|?0.1cm，求圆柱体体积v??rh的绝对误差限与相对误差
限。（误差限的计算）
6 设x的相对误差为a%,求y?xn的相对误差。（函数误差的计算） 7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为1%，问度量半径r时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算） 1 2
8 设in?e ?1
nxx?edx，求证： 0
（1）in?1?nin?1(n?0,1,2?)
（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计 算方法的比较选择） 第二章 插值法 姓名 学号 班级
习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。
1 已知f(?1)?2,f(1)?1,f(2)?1，求f(x)的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值） 2 已知y?
x,x0?4,x1?9，用线性插值求7的近似值。（拉格朗日线性插值） 3 若xj(j?0,1,...n)为互异节点，且有 lj(x)? 试证明
(x?x0)(x?x1)?(x?xj?1)(x?xj?1)?(x?xn)(xj?x0)(xj?x1)?(xj?xj?1)(xj?xj?1)?(xj?xn) ?xl j?0 n kjj
（拉格朗日插值基函数的性质） (x)?xk(k?0,1,...n)。
,sin0.34?0.333487,sin0.36?0.3522744 已知sin0.32?0.314567，用抛物线插值计
算sin0.3367的值并估计截断误差。（拉格朗日二次插值） 5 用余弦函数cosx在x0?0，x1?多项式, 并近似计算cos日二次插值） 6 已知函数值f(0)?6,f(1)?10,f(3)?46,f(4)?82,f(6)?212，求函数的四阶均差 ? 4
，x2? ? 2
三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值 ? 6
及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。（拉格朗 f[0,1,3,4,6]和二阶均差f[4,1,3]。（均差的计算）
7 设f(x)?(x?x0)(x?x1)?(x?xn)求f[x0,x1?xp]之值，其中p?n?1，而节点
xi(i?0,1,?n?1)互异。（均差的计算） 8 如下函数值表
建立不超过三次的牛顿插值多项式。（牛顿插值多项式的构造） 9求一个次数小于等于三次多项式p(x)，满足如下插值条件：p(1)?2，p(2)?4，
p?(2)?3，p(3)?12。（插值多项式的构造） 10 构造一个三次多项式h(x)，使它满足条件
h(0)?1,h(1)?0,h(2)?1,h?(1)?1（埃尔米特插值）。
11 设f(x)?x,x0?1/4,x1?1,x2?9/4。(1)试求f(x)在?1/4,9/4?上的三次埃尔米特插值多项式h(x)，使得h(xj)?f(xj),j?0,1,2,h?(x1)?f?(x1)，h(x)以升幂形式给出。(2)写出余项r(x)?f(x)?h(x)的表达式。（埃尔米特插值及其余项的计算）。 12 若f(x)?c2[a,b],f(a)?f(b)?0，试证明： 32
max|f (x)|? a?x?b 1
?b?a?2max|f?? (x)|（插值余项的应用） a?x?b8
13 设f(?2)??1,f(0)?1,f(2)?2,求p(x)使p(xi)?f(xi)(i?0,1,2)； 又设 |f???(x)|?m ，则估计余项r(x)?f(x)?p(x)的大小。（插值误差的估计）
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习题主要考察点：最小二乘法，最佳平方逼近，正交多项式的构造。 1 设f(x)?sin?x，求f(x)于[0,1]上的线性最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近） 2 令f(x)?ex,?1?x?1，且设p(x)?a0?a1x,求a0,a1使得p(x)为f(x)于[?1,1] 上的最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近） 3证明：切比雪夫多项式序列 tk(x)?cos(karccosx)
在区间??1,1?上带权?(x)? 1?x 2
正交。（正交多项式的证明） ?x1?x2?3?
4求矛盾方程组：?x1?2x2?4的最小二乘解。（最小二乘法） ?x?x?2 2?1
5 已知一组试验数据
试用直线拟合这组数据. (计算过程保留3位小数)。（最小二乘线性逼近） 6 用最小二乘原理求一个形如y?a?bx2的经验公式,使与下列数据相拟合。
（最小二乘二次逼近）
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习题主要考察点：代数精度的计算，构造插值型求积公式（梯形，辛甫生公式），复化求积的计算，高斯公式的构造。 1给定求积公式 ? h ?h
f(x)dx?af(?h)?bf(0)?cf(h)试确定a,b,c使它的代数精度尽可能 高。（代数精度的应用和计算） 2 求积公式 ? 1
f(x)dx?a0f(0)?a1f(1)?b0f?(0)，试确定系数a0,a1及b0，使该求积
公式具有尽可能高的代数精确度，并给出代数精确度的次数。（代数精度的应用和计算） 3数值积分公式 ? 30 3
f(x)dx?[f(1)?f(2)]，是否为插值型求积公式，为什么？又该公式 2 b
的代数精确度为多少？（插值型求积公式特征） 4如果f??(x)?0，证明用梯形公式计算积分几何意义。（梯形求积） 5用n?4的复化梯形公式计算积分 ? a
f(x)dx所得到的结果比准确值大，并说明其 ? 2 1 1
dx，并估计误差。（复化梯形求积） x
6设f(?1)?1,f(?0.5)?4,f(0)?6,f(0.5)?9,f(1)?2,则用复化辛甫生公式计算 ? 1 ?1
f(x)dx，若有常数m使 |f(4)|?m，则估计复化辛甫生公式的整体截断误差限。（复 化辛甫生公式） 1
7已知高斯求积公式 ?1
?f(x)dx?f(0.57735)?f(?0.57735) 将区间[0,1]二等分，用复 1
化高斯求积法求定积分 ?
xdx的近似值。（高斯公式）
8 试确定常数a，b，c和a，使得数值积分公式 ? 2 ?2
f(x)dx?af(?a)?bf(0)?cf(a)有尽
可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为高斯型的？（代数精度的应用和计算，高斯点的特征）
9设?pn(x)?是[0,1]区间上带权?(x)?x的最高次幂项系数为1的正交多项式系 （1）求p2(x)。
（2）构造如下的高斯型求积公式 ? 1
xf(x)dx?a0f(x0)?a1f(x1)。（高斯求积）
【篇二：数值分析简单习题】
章：
基本概念 第二章：
gauss消去法，lu分解法 第三章：
题型：具体题＋证明，误差分析
三个主要迭代法，条件误差估计，范数的小证明 第四章：
掌握三种插值方法：拉格朗日，牛顿，厄尔米特，误差简单证明，构造复合函数 第五章：