最小二乘法计算 第六章：

梯形公式，辛普森（抛物线）公式，高斯公式三个重要公式，误差分析。

高斯求积公式的构造 第七章：

几种常用的迭代格式构造，收敛性证明。 第九章：

基本概念（收敛阶，收敛条件，收敛区域等）, 简单欧拉法。 第一章 误差

1. 科学计算中的误差来源有4个，分别是________，________，________，________。

2. 用taylor展开近似计算函数f(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0)，这里产生是什么误差？

3. 0.7499作3的近似值，是______位有效数字，65.380是舍入得到的近似值，有____几4

位有效数字，相对误差限为_______. 0.0032581是四舍五入得到的近似值，有_______位有效数字.

4. 改变下列表达式，使计算结果比较精确： （1）

（3） 11?x?,1?2x1?x|x|?1 （2）

|x|?1 1?cosx,xx?0,|x|?1. （4） sin??sin?,??? 5.

采用下列各式计算1)6时，哪个计算效果最好？并说明理由。 （1） 6（2） （3） （4

99?(3?6. 已知近似数x*有4位有效数字，求其相对误差限。 上机实验题： xk

x1、利用taylor 展开公式计算 e??，编一段小程序，上机用单精度计算e的函数 k?0k!x?

值. 分别取 x =1，5，10，20，-1，-5，-10，-15，-20，观察所得结果是否合理，如不合理请分析原因并给出解决方法.

2、已知定积分in??

in??110xndx,n?0,1,2,?,20,有如下的递推关系 x?6 0n?11xxn(x?6)?6xn?11dx??dx?in?1 0x?6x?6n ?6

可建立两种等价的计算公式 (1) in?11?6in?1,取i0?0.154；1?nin),取i20?0.(2) in?1?n6n

来计算i1,i2,i3,i4,?,i19，编程比较哪种计算的数值结果好，并给出理论分析。

第二章 插值法

1. 已知f(0)?2,f(1)??1，那么差商f[1,0]?_________.

2. n阶差商与导数的关系是f[x0,x1,?,xn]?__________________. 3. 由导数和差商的关系知，f[xi,xi]=__________________。

4. 已知函数f(x)在x?3,1,4的值分别是4，6，9，试构造lagrange插值多项式。

5.取节点x0?0,x1?1,x2?2, 对应的函数值和导数值分别为f(x0)?1, f(x1)?2,f(x1)?2，试建立不超过二次的插值多项式。(如果将最后一个条件改为f(x2)?2，插值多项式如何计算？)

6．已知f(0)?1,f(1)?2,f(1)?3,f(2)?9，试建立不超过3次的插值多项式，并写出插值余项.

7. 设f(x)?c4[a,b],求三次多项式p3(x),使之满足插值条件 ?p(xi)?f(xi),??p(x1)?f(x1)i?0,1,2

28. 设p1(x)是过x0,x1的一次插值多项式，f(x)?c[a,b],其中[a,b]是包含x0,x1的任一区

间。试证明：对任一给定的x?[a,b]，在（a,b）上总存在一点?，使得r(x)?f(x)?p1(x)?f??(?)(x?x0)(x?x)1。 2!

n9.证明关于互异节点{xi}in?0的lagrange插值基函数{li(x)}满足恒等式i?0

l0(x)?l1(x)???ln(x)?1 上机习题：

1. 绘制4题的lagrange的插值函数的图像。 第三章 数据拟合

1. 数据拟合与插值的区别是什么？

2. 最小二乘原理是使偏差?i的___________达到最小 3. 求过点（2,3），（0,1），（3,5）的线性拟合函数。

4. 用最小二乘法求一形如y?a?bx2的多项式，使与下列数据相拟合 第四章 线性方程组的直接解法

1. 线性方程组的解法大致可分为_____________，________________。

2. 平方根法和ldlt分解法要求系数矩阵a满足______________。 3. 上三角和下三角方程组的解法分别称为___________，____________。

4. 严格对角占优矩阵的定义是什么？ 5. 试求下面矩阵的杜利特尔分解 ?62?（1） ?。 ??3?4?

?213??。 457（2） ??????285??

?15?2??x1??1???x???13?。 0436. 用列主元高斯消去法求解方程组 ????2??????206????x3????3??

?211??x1??1???x???1?。 6?167. 用lu分解法解方程组 ????2?????1027????x3????2?? 上机实验题：

1. 编程实现列主元的高斯消去法 2. 编程实现lu分解法

第五章 线性方程组的迭代解法

?1. 向量x?(3,2,?1,?7)t，计算||x||1，||x||2，||x||?. ?31?2??，计算||a||，||a||，||a||. 0102. a=? 2?1????126??

?20?3. a???, 分别计算a的谱半径?(a), 条件数cond?(a)，||a||1 03??

4. 矩阵a的范数与谱半径的关系为__________________________。 5. 求解ax=b的迭代格式x(k?1)?bx(k)?g收敛的充分必要条件____________________。

6. sor迭代法收敛的一个必要条件是松驰因子______________。 7. 写出下面方程的jacobi迭代格式

?10x1?x2?2x3?7???x1?10x2?2x3?8 ??x?x?5x?43?12

8. 给定下列方程组，判断对它们构造的jacobi迭代公式和gauss-seidel迭代公式是否收敛

?5x1?5x2?x3?2?5x1?2x3?7?（1）?

（2） ??5x1?12x2?8 ?2x1?x2?8?x?x?5?13

9. 对下列方程组建立收敛的简单迭代公式（提示：先调整方程组） ?16?2??x1??1??3?26??x???2? ???2?????41?1????x3????4??

10. 给定方程组

?12?2??x1??1??111??x???2?， ???2?????221????x3????1??

（1）分别写出jacobi迭代公式和gauss-seidel迭代公式。 （2）证明jacobi迭代法收敛，而gauss-seidel迭代法发散。 上机实验题：

【篇三：数值分析题库】

lass=txt>1． 在下列四个数中，有一个数具有4位有效数字，且其绝对误差限为 a0.001523 b0.15230 c0.01523d1.52300 2． 设方阵a可逆，且其n个特征值满足：?1 a 1

?10?5，则该数是（ ） 2 c

??2?...??n，则a?1的主特征值是（ ） 11 b ?1?n 11

?1或?nd或 ?1?n ?(k?1)

3． 设有迭代公式 x?bx ?(k) ?f ?

。若||b|| 1，则该迭代公式（ ）

a必收敛 b必发散 c可能收敛也可能发散

4． 常微分方程的数值方法，求出的结果是（ ）

a解函数 b近似解函数 c解函数值 d近似解函数值 5． 反幂法中构造向量序列时，要用到解线性方程组的（ ） a追赶法 blu分解法 c雅可比迭代法 d高斯—塞德尔迭代法 二． 填空题（每小题4分，共20分） 1． 设有方程组 ?x2?x3?4?

?x1?2x2?3x3?1?2x?x?x?0 23?1

，则可构造高斯—塞德尔迭代公式为 ?

????

??101???2． 设a??21?1，则a???? ???111?? 2

3． 设y?x?2y,y(0)?1，则相应的显尤拉公式为yn?1? 4． 设

f(x)?ax?1,g(x)?x2。若要使f(x)与g(x)在[0，1]上正交，则a= ?

5． 设

x?(2,?2,?1)t，若有平面旋转阵p，使px的第3个分量为0，则p = ?

?????? ? ???

三． 计算题（每小题10分，共50分） 1． 求

27的近似值。若要求相对误差小于0.1%，问近似值应取几位有效数字？ 2． 设

f(x)?x?2x4,若在[-1，0]上构造其二次最佳均方逼近多项式,请写出相应的法方程。 3． 设有方程组

4． 试确定常数a，b，c及?，使求积公式 ?x1?2x2?2x3?1?

?x1?x2?x3?1，考察用雅可比迭代解此方程组的收敛性。 ?2x?2x?x?1 23?1 1

??1f(x)dx?af(??)?bf(0)?cf(?) 为高斯求积公式。 ?

5．设有向量 x?(2,1,2) t

，试构造初等反射阵h，使h ?