高等数学（本科少学时类型）

第一章 函数与极限

第一节 函数

○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★）

U?a,????x|x?a???

Uo?a,????x|0?x?a???

第二节 数列的极限

○数列极限的证明（★）

【题型示例】已知数列?xn?，证明xlim???xn??a 【证明示例】??N语言

1．由xn?a??化简得n?g???， ∴N???g?????

2．即对???0，?N???g?????，当n?N时，始终有不等式xn?a??成立， ∴limx???xn??a

第三节 函数的极限

○x?x0时函数极限的证明（★） 【题型示例】已知函数f?x?，证明xlim?xf?x??A

0【证明示例】???语言

1．由f?x??A??化简得0?x?x0?g???， ∴??g???

2．即对???0，???g???，当0?x?x0??时，始终有不等式f?x??A??成立， ∴xlim?xf?x??A

0○x??时函数极限的证明（★）

【题型示例】已知函数f?x?，证明limx??f?x??A

【证明示例】??X语言

1．由f?x??A??化简得x?g???， ∴X?g???

2．即对???0，?X?g???，当x?X时，始终有不等式f?x??A??成立， ∴limx??f?x??A

第四节 无穷小与无穷大

○无穷小与无穷大的本质（★） 函数f?x?无穷小?limf?x??0 函数f?x?无穷大?limf?x???

○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）

（定理三）假设f?x?为有界函数，g?x?为无穷小，则lim??f?x??g?x????0

（定理四）在自变量的某个变化过程中，若f?x? 为无穷大，则f?1?x?为无穷小；反之，若f?x?为无穷小，且f?x??0，则f?1?x?为无穷大

【题型示例】计算：lim?f?x??g?x??0??（或x??） x?x1．∵f?x?≤M∴函数f?x?在x?x0的任一去心?邻域U?x0,??内是有界的；

（∵f?x?≤M，∴函数f?x?在x?D上有界；） 2．xlim?xg?x??0即函数g?x?是x?x0时的无穷小； 0（limg?x??0即函数g?x?是x??时的无穷小；）

x??3．由定理可知limx?x??f?x??g?x????0

0（limx????f?x??g?x????0）

第五节 极限运算法则

○极限的四则运算法则（★★） （定理一）加减法则 （定理二）乘除法则

关于多项式p?x?、q?x?商式的极限运算

设：???p?x??amm?10x?a1x???am??q?x??bnn?1

0x?b1x???bn??n?m则有limp?x????q?x????a0 n?m

x?b0??0n?m??f?x0?g?x0??0limf?x??g?x0?x?x?x????? g??x0??0,f?x0??0 0g?0?g?0?x0??f?x0??0（特别地，当limf?x?0x?xg?x??0（不定型）时，通常分

0子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）

【题型示例】求值limx?3x?3x2?9 【求解示例】解：因为x?3，从而可得x?3，所以原式?limx?3x?3x2?9?limx?311x?3?x?3??x?3??limx?3x?3?6 其中x?3为函数f?x??x?3x2?9的可去间断点

倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：

0解：limx?30x?x?3x2?9?L?lim?3??x?3??lim1?1 x2?9??x?32x6○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★）（定理五）若函数f?x?是定义域上的连续函数，那么，limx?xf?0???x????f???limx?x??x??0?? 【题型示例】求值：limx?3x?3x2?9 【求解示例】limx?3x?3x2?9?limx?3x?3x2?9?16?66

第六节 极限存在准则及两个重要极限

○夹迫准则（P53）（★★★） 第一个重要极限：limsinx?0x?1

x∵?x????0,??2??，sinx?x?tanx∴limsinxx?0x?1 limx?lim1?0sinx?lim1x?0?1 x?0sinxxxlim?sinx?x?0??x??（特别地，limsin(x?x0)x?x?1） 0x?x0

○单调有界收敛准则（P57）（★★★）

x第二个重要极限：lim?x????1?1?x???e

（一般地，lim?g?f?x????x????limf?x??limg??x?，其中

limf?x??0）

x?1【题型示例】求值：lim?2x?3?x????2x?1??

【求解示例】

x?1x?1x?1解：lim?x???2x?3??2x?1???lim?2x?1?x???2??2x?1????2?2xlim?1????1?2x?1??22x?12??x?1?2?2x?1??x?1??2x?1?2x?1?2xlim??1????1?2?2x?1????2?22xlim??1????1?????2x?1????2x?12xlim?2?1????2x?1??x?1???2??lim?2???2??e1????2x?1??x?1?2x??????2xlim?1???1???2x?1?????e2xlim??1????2x?2?2x?1???e1?e

第七节 无穷小量的阶（无穷小的比较） ○等价无穷小（★★）

1．U~sinU~tanU~arcsinU~arctanU~ln(1?U)~?eU?1? 2．1U22~1?cosU

（乘除可替，加减不行）

【题型示例】求值：limln?1?x??xln?1?x?x?0x2?3x 【求解示例】

解：因为x?0,即x?0,所以原式?limln?1?x??xln?1?x?x?0?lim?x2?3x

1?x??ln?1?x?x?x?3??lim?1?x??x?limx?1x?0x?0x?x?3?x?0x?3?13第八节 函数的连续性 ○函数连续的定义（★）

xlim?xf?x??xlim0??x?f?x??f?x0?

0○间断点的分类（P67）（★）

第一类间断点（左右极限存在）??跳越间断点（不等）?可去间断点（相等）第二类间断点?????无穷间断点（极限为?）（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）

?e2x【题型示例】设函数f?x???x?0?a?x ，x?0应该怎样选

择数a，使得f?x?成为在R上的连续函数？

【求解示例】

?f?0???e2?0??e1?e1．∵???f0??a?0??a

?????f?0??a2．由连续函数定义xlim?0?f?x??xlim?0?f?x??f?0??e

∴a?e

第九节 闭区间上连续函数的性质 ○零点定理（★）

【题型示例】证明：方程f?x??g?x??C至少有一个根介于a与b之间 【证明示例】

1．（建立辅助函数）函数??x??f?x??g?x??C在闭区间?a,b?上连续；

2．∵??a????b??0（端点异号）

3．∴由零点定理，在开区间?a,b?内至少有一点?，使得?????0，即f????g????C?0（0???1）4．这等式说明方程f?x??g?x??C在开区间?a,b?内至少有一个根? 第二章 导数与微分

第一节 导数概念

○高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（★★）【题型示例】已知函数f?x????ex?1 ，x?0在x?0?ax?bx?0处可导，求a，b

【求解示例】

?f?1．∵???f??e0?1，??0???e0?1?e0?1?2???0???f???0??a?f??0???b ??f?0??e0?1?22．由函数可导定义??f???0??f???0??a?1???f?0???f?0???f?0??b?2 ∴a?1,b?2

【题型示例】求y?f?x?在x?a处的切线与法线方程 （或：过y?f?x?图像上点??a,f?a???处的切线与法线方程） 【求解示例】

1．y??f??x?，y?|x?a?f??a? 2．切线方程：y?f?a??f??a??x?a? 法线方程：y?f?a???1f??a??x?a? 第二节 函数的和（差）、积与商的求导法则

○函数和（差）、积与商的求导法则（★★★） 1．线性组合（定理一）：(?u??v)???u???v? 特别地，当????1时，有(u?v)??u??v? 2．函数积的求导法则（定理二）：(uv)??u?v?uv?

3．函数商的求导法则（定理三）：??u??u?v?uv??v???v2 第三节 反函数和复合函数的求导法则

○反函数的求导法则（★）

【题型示例】求函数f?1?x?的导数

【求解示例】由题可得f?x?为直接函数，其在定于域D

上单调、可导，且f??x??0；∴??f?1?x?????1f??x? ○复合函数的求导法则（★★★） 【题型示例】设y?ln?earcsinx2?1?x2?a2?，求y?

【求解示例】

解：y???1earcsinx2?1?x2?a2?x2?a2???earcsinx2?1?????1???arcsinx2?1??x2?1???x2?a2????earcsinx2?1?x2?a2??e?1???x2??1?2x2?a2??????2x???1???earcsinx2?1??2x2?12x?earcsinx2?1?x2?a2?2?x2?2x2?a2???????1???x2?1xx?earcsinx2?1?x2?a2?earcsin??x2?1?2?x2?x2?a2??

第四节 高阶导数 ○f?n??x????f?n?1??x???n?n?1????（或dy?dydxn???dx?n?1??）（★） ?【题型示例】求函数y?ln?1?x?的n阶导数 【求解示例】y??1?1?x??1?x?1， y??????1?x??1??????1???1?x??2， y????????1???1?x??2??????1????2???1?x??3 ……

y?n??(?1)n?1?(n?1)！?(1?x)?n

第五节 隐函数及参数方程型函数的导数 ○隐函数的求导（等式两边对x求导）（★★★） 【题型示例】试求：方程y?x?ey所给定的曲线C：

y?y?x?在点?1?e,1?的切线方程与法线方程

【求解示例】由y?x?ey两边对x求导

即y??x???ey??化简得y??1?ey?y?

∴y??11?e1?11?e ∴切线方程：y?1?11?e?x?1?e?