2012-2013学年第一学期《复变函数与积分变换》期终考试试卷--1

同济大学课程考核试卷（A卷）

2012 — 2013 学年第 一 学期

命题教师签名： 审核教师签名：

2. (1)(8%) 证明：若u(x,y)在区域D上调和，则函数 f z =?x????y 在D上解析. (2)(7%) 设u x,y =excos??，求积分

?? =2

?u?u

??(??)

???? ??2(3)(5%)设u和v 均在区域D上调和，则其乘积函数uv是否一定在D上调和？说明理由。

课号：122144 课名：复变函数与积分变换 考试考查：考查

此卷选为：期中考试( )、期终考试( √)、重考( )试卷

年级 专业 学号 姓名 任课教师 ___ _ 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分

（注意：本试卷共七大题，三大张，满分100分．考试时间为120分钟。要求写出解题过程，否则不予计分）

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1. (10%) 求方程z= ??+1 的一切复数解.

2012-2013学年第一学期《复变函数与积分变换》期终考试试卷--2

3. (1) (8%)求

??

1???

在0点邻域上的Taylor级数，并指出其收敛半径。 2(2) (8%)求积分

2??

(2) (8%)求出tan??在扩充复平面上的一切孤立奇点，并指出其类型。

????

2

4. (1) (8%)求积分

????

?? =2

??2+2???3 sin?? 0

1+sin??

5. (1) (8%)求函数f t =1

??4+1的Fourier变换。

2012-2013学年第一学期《复变函数与积分变换》期终考试试卷--3

(2)(10%) 求解微分方程初值问题

x′′ t ?5x′ t +6x t =0,x 0 =1,x′ 0 =?1.

6.(10%) 求将单位圆盘映到右半平面且将 –i 映到原点的分式线性变换。

7. 设f(z)为定义在单位圆盘上的解析函数，且满足f(0)=0，|f z |≤1。定义F z =

??(??)??

（当z≠0

时），F 0 =f′(0).

(1) (5%) 证明：F(z)在单位圆盘上解析。

(2) (5%) 证明：|f z |≤|z|且|f′ 0 |≤1，进一步若对某个z≠0成立 f z =|z|或 f′ 0 =1，则必有f z =e????z，这里θ为实常数。 (提示：利用最大模原理)