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2.1.1 正弦定理
[A 基础达标]
1．在△ABC中，若3a＝2bsin A，则B＝( ) π
A. 3π2πC.或 33
π
B．
6π5πD．或 66
解析：选C.由正弦定理，得3sin A＝2sin Bsin A，所以sin A(2sin B－3)＝0.因为0 3π2π，所以B＝或. 233 2．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么，对应的三边之比a∶b∶c等于( ) A．3∶2∶1 C.3∶2∶1 B．3∶2∶1 D．2∶3∶1 解析：选D.因为A∶B∶C＝3∶2∶1，A＋B＋C＝180°， 所以A＝90°，B＝60°，C＝30°， 所以a∶b∶c＝sin 90°∶sin 60°∶sin 30°＝1∶3．符合下列条件的△ABC有且只有一个的是( ) A．a＝1，b＝2，A＝30° C．b＝c＝1，B＝45° 解析：选C.对于A，由正弦定理得 B．a＝1，b＝2，c＝3 D．a＝1，b＝2，A＝100° 122＝，所以sin B＝.又a sin 30°sin B2 31 ∶＝2∶3∶1. 22 或135°，所以满足条件的三角形有两个．对于B，a＋b＝c，构不成三角形．对于C，b＝c＝1，所以B＝C＝45°，A＝90°，所以满足条件的三角形只有一个．对于D，a 4．在△ABC中，已知atan B＝btan A，则△ABC的形状是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 解析：选D.将a＝2Rsin A，b＝2Rsin B(R为△ABC外接圆的半径)代入已知条件，得sinAtan sinAsin Bsin AsinBB＝sinBtan A，则＝. cos Bcos A2 2 2 2 2 2 推荐精选K12资料 推荐精选K12资料 因为sin Asin B≠0，所以 sin Asin B＝， cos Bcos A所以sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B， π 所以A＝B或A＋B＝，故△ABC为等腰三角形或直角三角形． 2 5．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asin Asin B＋bcosA＝2a，则的值为( ) A．23 C.3 解析：选D.由正弦定理，得 sinAsin B＋sin BcosA＝2sin A， 即sin B·(sinA＋cosA)＝2sin A. 所以sin B＝2sin A．所以＝ 2 2 2 2 2 baB．22 D．2 bsin B＝2. asin A6．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于__________． 解析：由三角形内角和定理知：A＝75°，由边角关系知B所对的边b为最小边，由正弦定21× 2bccsin B6 理＝得b＝＝＝. sin Bsin Csin C33 2 答案： 6 3 5b，A＝2B，则cos B＝________． 2 7．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝ ??a＝5b， 2解析：在△ABC中，因为? ??A＝2B，??sin A＝5sin B， 2所以? ??sin A＝sin 2B＝2sin Bcos B， 所以cos B＝答案： 5 4 5. 4 8．△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且cos 2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，b＝3，则c∶sin C等于________． 推荐精选K12资料 推荐精选K12资料 12 解析：由题意得cos 2B－3cos B＋2＝0，即2cosB－3cos B＋1＝0，解得cos B＝或cos B2＝1(舍去)，所以sin B＝ 3cb3，由正弦定理得＝＝＝2. 2sin Csin B3 2 答案：2 9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 cos(A－C)＋cos B＝1，a＝2c，求C的大小． 解：由B＝π－(A＋C)， 得cos B＝－cos(A＋C)． 于是cos(A－C)＋cos B＝cos(A－C)－cos(A＋C)＝2sin Asin C． 1 所以sin Asin C＝.① 2 由a＝2c及正弦定理得sin A＝2sin C．② 12 由①②得sinC＝， 4 11 于是sin C＝－(舍去)或sin C＝. 22π 又a＝2c，所以C＝. 6 10．在△ABC中，(a＋b)sin(A－B)＝(a－b)sin(A＋B)，试判断△ABC的形状． 解：由(a＋b)sin(A－B)＝(a－b)sin(A＋B)，得a[sin(A＋B)－sin(A－B)]＝b[sin(A＋B)＋sin(A－B)]，所以a·cos Asin B＝bsin Acos B．由正弦定理，得 sinAcos Asin B＝sinBsin AcosB.因为0 所以sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B. π 所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝. 2所以△ABC为等腰三角形或直角三角形． [B 能力提升] 11．满足B＝60°，AC＝12，BC＝k的△ABC恰有一个，则k的取值范围是( ) A．k＝83 C．k≥12 B．0 D．0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 解析：选D.已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，由正弦值求角时，需对角的情况进行讨论：当AC