∴Rt△DCE中，CE+CD=DE，

222

∴BD+CD=DE；

（3）①（2）中的结论还成立．

理由：如图3，∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC， 即∠BAD=∠CAE， 在△ABD与△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABC=∠ACE=45°，BD=CE，

∴∠ABC+∠ACB=∠ACE+∠ACB=90°， ∴∠BCE=90°=∠ECD，

222

∴Rt△DCE中，CE+CD=DE，

222

∴BD+CD=DE；

②∵Rt△BCE中，BE=10，BC=6， ∴CE=102?62=8， ∴BD=CE=8， ∴CD=8﹣6=2，

∴Rt△DCE中，DE=22?82=68， ∵△ADE是等腰直角三角形， ∴AE=222

DE68??34． 22【总结升华】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等

腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用. 举一反三：

【变式】△ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA，若0?＜∠PBC＜180°，且∠PBC平分线上的一点D满足DB=DA，

（1）当BP与BA重合时（如图1），∠BPD= °； （2）当BP在∠ABC的内部时（如图2），求∠BPD的度数；

（3）当BP在∠ABC的外部时，请你直接写出∠BPD的度数，并画出相应的图形．

【答案】（1）∠BPD= 30°； （2）如图3，连结CD．

5

∵ 点D在∠PBC的平分线上， ∴ ∠1=∠2．

∵ △ABC是等边三角形， ∴ BA=BC=AC，∠ACB= 60°． ∵ BP=BA， ∴ BP=BC． ∵ BD= BD，

∴ △PBD≌△CBD． ∴ ∠BPD=∠3．

∵ DB=DA，BC=AC，CD=CD， ∴ △BCD≌△ACD． ∴ ?3??4??ACB?30?． ∴ ∠BPD =30°．

（3）∠BPD= 30°或 150°.

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类型二、几何计算型问题

【高清课堂：几何综合问题 例1 】

4.如图，直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．折叠该纸片使点B与点C重合，折痕与AB、BC的交点分别为D、E. (1) DE的长为 ；

(2) 将折叠后的图形沿直线AE剪开，原纸片被剪成三块，其中最小一块的面积等于 ．

【思路点拨】（1）由题意可得：DE是线段BC的垂直平分线，易证DE∥AC，即DE是△ABC的中位线，即可求得DE的长； （2）由DE∥AC，DE=1AC，易证△AOC∽△EOD，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得OA：OE=2，2 6

然后求得△ACE的面积，利用等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案． 【答案与解析】

（1）根据题意得：DE⊥BC，CE=BE， ∵∠ACB=90°， 即AC⊥BC， ∴DE∥AC， ∴AD=BD， 11AC=×8=4； 221（2）∵DE∥AC，DE=AC， 2∴DE=∴△AOC∽△EOD， ∴OA：OE=AC：DE=2， ∵CE=11BC=×6=3， 22∵∠ACB=90°，AC=8， 11CE?AC=×3×8=12， 221∴S△OCE=S△ACE=4， 3∴S△ACE=∴S△ADE+S△ODE=S△ABC-4-12=8， ∴其中最小一块的面积等于4． 【总结升华】考查了折叠的性质、直角三角形的性质、三角形中位线的性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系,是一道典型的几何综合题． 举一反三

【变式】在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E，那么△AB′E与四边形AECD重叠部分的面积是 . 【答案】在Rt△ABE中，∵∠B=45°，AB=2， ∴AE=BE=2 ，∴S△ABE=1．

由翻折的性质可知：△AB′E≌△ABE，∴EB′=EB=2 ∴B′C=BB′－BC=22－2， ∵四边形ABCD是菱形，∴CF∥BA．

∴∠ B′FC=∠B′AB=90°, ∠B′CF=∠B=45° ∴CF=

21B'C=2-2 ∴S△B'FC =CF2=3－22 22，∴S阴=S△AB′－S△B′=22－2． EFC

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5．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=45°，AB=10 cm，CD=4 cm，等腰直角△PMN的斜边MN=10 cm， A点与N点重合， MN和AB在一条直线上，设等腰梯形ABCD不动，等腰直角△PMN沿AB所在直线以1 cm／s的速度向右移动，直到点N与点B重合为止.

(1)等腰直角△PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状由________形变化为________形；

2

(2)设当等腰直角△PMN移动x (s)时，等腰直角△PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积为y(cm)，求y与x之间的函数关系式；

(3)当x=4 (s)时，求等腰直角△PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积.

【思路点拨】（1）根据已知求出∠PNM=∠DAB=45°，求出∠AEN，根据等腰直角三角形的判定判断即可；推出∠DAB=∠PNM=45°，根据等腰梯形的判定判断即可； （2）可分为以下两种情况：

①当0＜x≤6时，重叠部分的形状为等腰直角△EAN，AN=x（cm），过点E作EH⊥AB于点H，则EH平分AN，求出EH，根据三角形的面积公式求出即可；②当6＜x≤10时，重叠部分的形状是等腰梯形ANED，求出AN=x（cm），CE=BN=10-x，DE=x-6，过点D作DF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，求出DF，代入梯形面积公式求出即可. 【答案与解析】

(1)等腰直角三角形；等腰梯形.

(2)等腰直角△PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重合部分图形的形状可分为以下两种情况：

①当0＜x≤6时，重叠部分的形状为等腰直角△EAN(如图①).此时AN=x(cm)，过点E作EH⊥AB于点H，则EH平分AN， ∴EH=

AN=

x， ∴y=S△ANE=

AN·EH=

x·

x=

.

②当6＜x≤10时，重叠部分的形状是等腰梯形ANED(如图②)． 此时，AN=x(cm)，∵∠PNM=∠B=45°，∴EN∥BC， ∵CE∥BN，∴四边形ENBC是平行四边形， CE=BN=10-x，DE=4-(10-x)=x-6，

过点D作DF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，

(10-4)=3，

(x-6+x)×3=3x-9.

则AF=BG，DF=AF= ∴y=S梯形ANED=

(DE+AN)·DF=

综上，.

(3)当等腰直角△PMN运动到PN边经过点D时，移动时间为6(s)， ∴当x=4 (s)时，y=

x2=

×42=4.

∴当x=4 (s)时，等腰直角△PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积是4cm2.

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