【总结升华】本题主要考查对等腰梯形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，三角形的面积，平移的性质，等腰直角三角形等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键． 举一反三：

【变式】如图，等腰梯形ABCD中，AB=15，AD=20，∠C=30°．点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD(包括端点)上运动.

(1)设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围； (2)当五边形BCDNM面积最小时，请判断△AMN的形状. 【答案】

(1)过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P.则AM=x，AN=20-x. ∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠D=∠C=30°， ∴∠PAN=∠D=30°.

在Rt△APN中，PN=AN×sin∠PAN=

(20-x)，即N到AB距离为

(20-x).

∵点N在AD上，0≤x≤20，点M在AB上，0≤x≤15，∴x取值范围是0≤x≤15. (2)∵S五边形BCDNM=S梯形-S△AMN且S梯形为定值， ∴当S五边形BCDMN最小时，应使S△AMN最大 据(1)，S△AMN= ∵

AM·NP=

.

＜0，∴当x=10时，S△AMN有最大值.

∴当x=10时，S五边形BCDNM有最小值．

当x=10时， 即ND=AM=10，AN=AD-ND=10，即AM=AN． 则当五边形BCDNM面积最小时，△AMN为等腰三角形.

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