4.）三个阀门的液阻R?300s/m2。
2.2 执行器（阀门）的数学模型
此系统中执行器即为阀门VT0。由假设可知，此系统中所有阀门的动作均无延时，且在其动作范围内遵循线性化准则。
此系统中阀门的输入信号为0—5V，开度为0—100%。由以上可知，阀门的
1比例系数为k?，执行器的传递函数Ga为：
5Q Ga?in?k?qi，其中qi为T1的进水流量，a为阀门输入信号，qi为阀
a门开度最大时的进水流量。
取qi为1mm3/s，则Ga?0.2。
2.3 阶梯式三容水箱的数学模型
水槽1：
dh11
?(Qin?Q12) dtA1水槽2：
dh21
?(Q12?Q23) dtA2水槽3：
dh31?(Q23?Qo)
dtA3
其中Qin是入水量，Q12、Q23分别为T1、T2的出水流量（也是T2、T3的进水流量），Qo为出水量，
hi(i?1、2、3) 为第i个水箱的液位，A1、A2、
A3分别为
T1、T2、T3三个水箱的横截面积。 为简化问题的求解，在此取
A1?A2?A3?A?0.2m2。
Qi? 这里
hiRi ，其中
hi(i?1、2、3) 为上中下三个水箱的液位，R1、R2、R3分别为阀门VT1、VT2、VT3的线性化液阻。则有如下公式 Q1?h1/R1 Q2?h2/R2 Q3?h3/R3
Q0按照流体力学原理，水箱流出量与出口静压有关，同时还与调节阀门的
阻力R有关，假设三者之间的变化关系为：
?hQ0? R
Q流体在一般流动条件下，液位h和流量0之间的关系是非线性的。为了简化问题，通常将其线性化。线性化方法如下图所示。
通常在特性曲线工作点a附近不大的范围内，用切于a点的一段切线代替原曲线上的一段曲线，进行线性化处理。经过线性化后，水阻R是常数。由上式可知，只要确定了三个水箱的水阻，这个三阶微分方程的参数就定下来了，进而可以确定三容水箱系统的传递函数。由假设3可知，R1?R2?R3?R。为简化计算，我们近似取R?300s/m2。
通过对以上公式进行拉式变换，代入相关的数值，则可以得出三容对象关于第三级水箱液位h3的传递函数。
Gs?K0
(T1s?1)(T2s?1)(T3s?1)
式中：T1??第一个水箱的时间常数，T1?A1R1;
T2??第二个水箱的时间常，T数2?A2R2; T3??第三个水箱的时间常，T数3?A3R3;
代入相关数值，得
Gs?h3(s)0.0013889? 3Qin(s)(s?0.0166)7
此系统开环阶跃响应曲线如下：
稳定时h3?300m，超过了容器的高度（5m)。故此系统无法达到稳态，需要加入相应的控制器进行校正，使其满足相应的性能指标要求。
由上图可知，此阶梯式三容水箱系统具有自平衡的能力，但其稳态误差过大，
2.4 水平式三容水箱的数学模型
通过水槽T1、T2、T3的物料平衡关系可得以下微分关系式：
dh11
?(Qin?Q12) T1： dtA1
dh21 T2：
?(Q12?Q23) dtA2
T3： dh31?(Q23?Qo) dtA3
其中Qin是入水量，Q12、Q23分别为T1、T2的出水流量（也是T2、T3的进水流量），Qo为出水量，
hi(i?1、2、3) 为第i个水箱的液位，A1、A2、
A3分别为
T1、T2、T3三个水箱的横截面积。 为简化问题的求解，在此取
A1?A2?A3?A?0.2m2。
式（1）、（2）、（3）中的Q1、Q2、Qo 分别满足下列各式： Q12h3h2?h3h1?h2? Q23? Qo?
R3R2R1 上式中R1、R2、R3分别为阀门VT1、VT2、VT3的线性化液阻。由假设3可知，R1?R2?R3?R。为简化计算，此处近似取R?300s/m2。
将上面（1）、（2）、（3）式进行拉普拉斯变换，代入各个参数并合并胡，得到此三容水箱系统的传递函数Gs为：
Gs?h3(s)300? Qin(s)216000s3?18000s2?360.072s?1
此系统开环阶跃响应曲线如下图（从上到下依次为h1、h2、h3）：
由上图可知，此水平式三容水箱系统与阶梯式三容水箱一样具有自平衡的能力，但其稳态误差过大，稳定时h3?300m，超过了容器的高度（5m)。故此系统
无法达到稳态，需要加入相应的控制器进行校正，使其满足相应的性能指标要求。
3两种三容水箱模型的控制与仿真
PID控制器是工程中应用最广泛的一类控制器，其具有结构简单、调节容易等优点。故本三容水箱液位控制系统也采用PID控制器进行控制。在此，本文采用简单PID和串级PID两种控制方法分别对系统进行调试。
3.1 阶梯式三容水箱的简单PID控制
PID控制器根据给定值R与实际输出值C构成偏差信号E=R-C。PID控制器的各个校正环节均有其作用：比例环节（P)能成比例地反映控制系统的偏差信号error(t)，偏差一旦产生，控制器立即产生控制作用，以减少偏差；积分环节（I)则主要用于消除静差，提高系统的无差度；微分环节（D)反映了偏差信号的变化趋势（变化速率），并能在偏差信号变得太大之前，在系统中引入一个有效的早期修正信号，从而加快系统的动作速度，减少调节时间。
PID控制器的公式为
?Ki1?Ds?Gc?KC?1???K??Kds，其中??（0.01?0.02）c。 ??s??s?1sID??
在此我们以T3的液位高度h3作为反馈信号，选择PID控制器构建控制系统，其控制原理图如下：
设定值PID控制器执行器Ga三容水箱系统Gsh3
此系统的开环传递函数为
h3(s)?Gc?Ga?Gs Gope?nR(s)
闭环传递函数为
h3(s)Gc?Ga?Gs?ed Gclos? R(s)1?Gc?Ga?Gs
在matlab的simulink仿真平台上搭建此控制系统，以PID控制器的输出信号作为阀门VT0的输入信号，以h3作为被控变量，画出框图如下所示：