去分母，得 9000x=12000x－600000 解得 x?200． 经检验，x?200是所列方程的根． 答：该校第二次捐款人数为200人．

上面的方法，我们按照它的完成过程称作：“分析——列表——思考——解”的方法。我们发现用“分析——列表——思考——解”的方法，可以用来列一元一次方程（或可化为一元一次方程的分式方程）解应用题。还可以用这样的方法列二元一次方程（组）解应用题。

例5 群群所在的班级准备向每位辛勤工作的教师献一束鲜花，每束由4支鲜花包装而成，由康乃馨和水仙花两种鲜花，同一种鲜花每支的价格相

共计19元

同．请你根据第一、二束鲜花提供的信息，求第三束鲜花的价格． 分析：

（1）数量关系：

鲜花总价=鲜花单价×这种鲜花的支数 （2）两方：第一束花和第二束花

（3）未知量：设康乃馨每支x元，水仙花每支y元 列表：

单价 康乃馨每支x第一束花 元， 水仙花每支y元 康乃馨每支x第二束花 元， 水仙花每支y元 思考：

（1）等量关系：第一束鲜花的总价=19元 第二束鲜花的总价=18元 （2）用代数式表示等量关系：

3x+18y=19，2x+2y=18，可以联立成二元一次方程组。

解：设康乃馨每支x元，水仙花每支y元

康乃馨2支， 康乃馨3支， 支数 共计18元

康乃馨 第三束

水仙花

总价 19元 水仙花1支 18元 水仙花2支 ?x?5?3x?y?19根据题意， 得 ? 解得 ?

y?42x?2y?18??第三束花的价格为

x?3y?5?3?4?17

答：第三束花的价格是17元． 二、列二次方程解应用题

我们可以发现，可以列一次方程解决的问题有一个共同的特点，就是题目中经常出现两方。例如，前面题目例1中的“乘车和骑车”，例2中的“由北京到天津和由天津返回北京”，例3中的“摩托车和抢救车”，例4中的“第一次和第二次”，例5中的“第一束花和第二束花”等，而下面的例题则没有这样的特点，这样的题目可能会用列二次方程来解。

例6 某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同．

（1）该公司2006年盈利多少万元

（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元

分析：

（1）数量关系：在这个问题中有三个量：基数（原有部分），增长部分、增长率，其中，增长率=（2）列表：设年盈利平均增长率为x 2005 2006 2007 基数 / 增长部分 / 1500x 1500（1+x）x 总数 1500 1500+1500x=1500（1+x） 增长部分

基数1500 1500（1+x） 2160 （3）2007年的盈利为：

1500（1+x）+1500（1+x）x =1500（1+x）（1+x）=1500（1+x）

（4）等量关系：2007年的盈利=2160即1500（1+x）=2160，它是一元二次方程。 解：（1）设年盈利的平均增长率为x ，

根据题意，得 1500(1?x)22

2

?2160 解得x1?0.2，x2??2.2（不合题意，舍去）

?1500(1?x)?1500(1?0.2)?1800 答：2006年该公司盈利1800万元．

（2） 2160(1?0.2)?2592 答：预计2008年该公司盈利2592万元．

想一想：如果我们不设“年盈利平均增长率为x”，直接设“2006年该公司盈利x万元”行不行

2005年，2006年，2007年该公司的盈利数分别为：1500，1500（1+x），1500（1+x）。我们发现这三个数很有意思，

2

1500?1?x?1500?1?x?=1+x，

1500?1?x?15001500?1?x?1500?1?x?=

1500?1?x?150022=1+x，即

。也就是说：

2006年盈利数：2005年盈利数=2007年盈利数：2006年盈利数 这样我们可以直接设：2006年该公司盈利x万元。 新解：设2006年该公司盈利x万元

1500x?根据题意，得 x2160（注意：这个方程我们没有见过，但是可以利用我们学过的“比例的基本性质”去解。）

整理，得 x=1500×2160， 解得 x=±1800（负值舍去） 经检验，x=±1800都是原方程的解 答：2006年该公司盈利1800万元。

例7 某商店购进一种商品，单价30元．试销中发现这种商品每天的销售量

2

p（件）与每件的销售价x（元）满足关系：

p?100?2x．若商店每天销售这种商品要获得

少件

200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元每天要售出这种商品多

（1）题目中有4个量：进价、销售价、利润、销售量，这些量中存在的数量关系有：（销售价-进价）×销售量=利润。 （2）题目中还给出了销售量p（件）与每件的销售价x（元）之间的函数关系：（3）设每件的销售价为x元，每天出售商品p件 （4）两个等量关系：（销售价-进价）×销售量=利润、解法一：设每件的销售价为x元，每天出售商品p件

． p?100?2x（其中x为正整数）

p?100?2x

???x?30?p?200?1? 根据题意，得 ?

P?100?2x2????（注意：这个方程组我们没有见过，但是可以利用我们学过的“代入消元法”去解。） 将（2）代入（1），得 (x?30)(100?2x)?200 （3） 整理，得 x2?80x?1600?0 解得 x=40

把x=40代入（2），得 p=20

?x?40 ∴?

p?20? 答：每件商品的售价应定为40元，每天要销售这种商品20件．

解法二：设每件的销售价为x元，则每天出售商品（100-2x）件

根据题意，得 (x?30)(100?2x)?200 整理，得 x2

?x?40（元）?p?100?2x?20（件） ?80x?1600?0?(x?40)2?0，

答：每件商品的售价应定为40元，每天要销售这种商品20件．

想一想：列方程解应用题时，一般问什么设什么，问几个设几个，这种方法叫做直接设元法。按照这个方法，我们列出的方程可能是没有见过和学过的，但是经过分析，有些是可以解的。我们也学过间接设未知数的方法，即间接设元法。使用间接设元法列出的方程一般是我们学过的方程。

例8 某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m

分析：

解法一：（直接设元）

设矩形温室的长为xm，宽为ym

2

前 侧 空 地 蔬 菜 种 植 区 域 ??1??x?2y根据题意，得????x?4??y?2??288?2?

将（1）代入（2），得 （2y－4）（y－2）=288 （3）

整理，得y－4y－140=0

解得 y1＝－10，y2＝14 将y1＝－10，y2＝14代入③，

2

?x2?28?x1??20得 ?（不合题意，舍去），?

?14y??10y21??答：当矩形温室的长为28m，宽为14 m时，蔬菜种植区域的面积是288 m．

解法二：（设一个未知数） 设矩形温室的宽为xm，则长为2 xm

根据题意，得 （x－2）（2x－4）＝288 整理，得x－4x－140=0

解得 x 1＝－10（不合题意，舍去），x2＝14． 所以x＝14，2x＝2×14＝28． 答：当矩形温室的长为28m，宽为14 m时，蔬菜种植区域的面积是288 m．

在列方程（组）解应用题时，一般采用直接设元法，但有时也使用间接设元。不论采用什么方法设元，要首先寻找题目中的数量关系，然后再寻找等量关系，根据数量关系和等量关系列出的方程，一般情况下，列出的方程的个数要与未知数的个数相同。

根据题意列出的方程（组）可能是各种各样的，这些方程（组）和我们学解方程（组）时解过的方程（组）不一样，因此，我们要利用学过的知识来判断是什么方程（组），然后，根据不同类型方程（组）的解法去解方程（组）。

解方程（组）时步骤可以少一些，但是应该有这类方程（组）的标准形式。 对于这类方程（组）的解应该考虑它们是否符合题意。

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