经济数学第五章级数与拉普拉斯变换 下载本文

第5章 级数与拉普拉斯变换

无穷级数是进行数值计算的一个重要工具,在自然科学与工程技术中有着广泛的应用.本章在介绍无穷级数的基本概念、性质以及数项级数敛散性的基础上,讨论如何将一般函数展开成幂级数与三角级数.

无穷级数包括:数项级数、幂级数、傅里叶级数.无穷级数是研究函数的工具,它主要有以下这些作用:表示函数、研究性质、数值计算.

§5.1 级数的基本概念和性质

一、无穷级数的基本概念

1.设u1 , u2 , un ,? (5.1.1) ? ,是按一定顺序排列起来的一个无穷数列,对数列(5.1.1)的各项依次用加号连接起来的表达式

u1+u2+?+un+? = ?un

n?1?(5.1.2)

叫做无穷级数(简称级数).其中u1叫作级数的第1项(也叫首项),u2叫作级数的第2项,?,第n项叫作级数的一般项(或者叫通项).

2.如果级数(5.1.2)中的各项是常数,则称级数(5.1.2)为常数项级数(简称数项级数).

?1111例如 1??????? 为一个数项级数,记作?.

23nn?1n3.如果级数(5.1.2)中的各项是变量x的函数,则称级数(5.1.2)为函数项级数

例如 x+x+ x+?+x+? 为一个函数项级数,记作?2

3

n

n?1?1. nx二、级数的敛散性

1.从级数(5.1.2)的首项加到第n项止,即级数的前n项(有限项)的和 sn=

?uk?1nk= u1+u2+?+un 叫做级数的部分和. 当n依次取1,2,3,?

时,级数的部分和构成一个新的数列s1,s2,s3,?,sn,?叫做级数的部分和

数列,记作{sn}

2. 当n→∞时,如果级数(5.1.2)的部分和数列sn存在极限,即limsn?s

n??则称级数(5.1.2)收敛,极限值s称为级数(5.1.2)的和.记作 s=u1+u2+?+un+?.

3. 当n→∞时,如果级数(5.1.2)的部分和数列sn没有极限,则称级数(5.1.2)发散,这时级数(5.1.2)就没有和.

4.当级数收敛时,其部分和sn是级数的和s的近似值,称s-sn为级数的余项,记为rn,即rn=s-sn= un+1+un+2+?.

由此定义可知,级数与其部分和数列有着紧密的联系,也就是说,级数的收敛、发散性(简称敛散性)就是用级数的部分和数列是否有极限来定义的.正因为如此,我们不难看出,数列与级数是一个问题的两种形式,一般地,任给级数(5.1.2),则对应一个数列{sn},反之对于给定数列{sn}可令u1=s1 ,u2=s2 -s1 ,?,un=sn -sn-1,? 从而构成级数?un这样级数的问题常可以转化为数列

n?1?的问题来研究,数列的问题也可以转化为样级数的问题来处理.

[例1] 讨论几何级数(等比级数)a+aq+aq2+?+ aqn-1+? (5.1.3)

(其中q是公比,a≠0)的敛散性.

a?aqnaaqn解 如果q≠1,则部分和sn= a+aq+aq+?+ aq= ??1?q1?q1?q2

n-1

当q<1时,由于limqn=0,所以limsn=

n??n??a; 1?q当q>1时,由于limqn=∞,所以limsn=∞,即级数发散;

n??n??当q=1时,sn=na,所以limsn=∞,即级数发散;

n??

当q=-1时,此时级数为 a-a+a-a+a-? 即其部分和为

?0,n为偶数sn??

?a,n为奇数 所以sn的极限不存在,级数发散.

根据以上讨论可得:当q<1时,等比级数?aqn收敛,其和为

n?0?a; 1?q 当q≥1时,等比级数?aqn发散

n?0?[例2]讨论级数

?n?n?1??n?1?1111??????的敛散性. 1?2?23n??n??1 解 级数的前n项和 sn=

111= ????1?22?3n??n?1?1 n?11??1??11??11????????????? 223nn?1?????? =1-

1??由于limsn??1???1 所以级数收敛,且其和为1 n???n?1?三、 收敛级数的基本性质

根据无穷级数收敛、发散以及和的概念,可以得出收敛级数的几个基本性质.

1.性质1(数乘性) 如果级数

?un?1?n收敛于和s,则级数

?kun?1?n(k为非零常

数)且其和为ks

性质1告诉我们:级数的每一项同乘一个非零常数后,它的收敛性不会改变.

2.性质2(和差性) 如果级数

?un?1?n、

?vn?1?n分别收敛于s、σ,则级数

??un?1?n?vn?也收敛,且其和为s±σ.

性质2告诉我们:收敛级数的和(或差)所构成的级数等于级数的和(或差)

3.性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数的收敛性. 4.性质4 如果级数

?un?1?n收敛,则对该级数的项任意加括号后所成的新级数

仍收敛,且其和不变.

性质4告诉我们:对于收敛级数,只要不改变级数各项的次序,我们可以任意合并它的一些项,级数仍然收敛,且收敛于原来的和.

推论 如果加括号后所成的级数发散,则原级数也发散.

5.性质5(级数收敛的必要条件)如果级数于零,即

limun?n???un?1?n收敛,则它的一般项un趋

0

性质5告诉我们:如果级数的一般项不趋于零,则该级数必发散.

注意: 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件,有些级数虽然一般项趋于零,但仍然是发散的

[例3]

:调和级数

?n?1?2?3???n??

n?1?1111(5.1.4)

?11un?lim? ,0 但级数?是发散的 虽然有 limn??n??nn?1n假设级数(5.1.4)收敛,设它的部分和sn,且sn→s(n→∞).显然,对级数(5.1.4)的部分和s2n,也有s2n→s(n→∞).于是 s2n-sn→s-s=0(n→∞).

11111111??????????2n2n2n2n2n= 2 但另一方面s2n-sn= n?1n?2故s2n-sn不趋于零,与假设级数(5.1.4)收敛矛盾,这说明级数(5.1.4)必发散.

习题5.1

1 写出下列级数的一般项:

111 (1)1?????

35723456 (2)??????

12345xxxxx2????? (3)22?42?4?62?4?6?8a2a3a4a5??? (4)??3579

2 根据级数收敛与发散的定义判断下列级数的收敛性: (1)?n?1??n?1?n

? (2)

1111??????? 1?33?55?7?2n?1??2n?1?2?n????sin??

666 3判断下列级数的收敛性:

(3)sin??sinn88283n8 (1)??2?3????1?n??

99991111?? (2)?????3693n1111?3???n?? (3)?3333332333n (4)?2?3???n??

22221?11??1 (5)?????2?23?23??21??11??1????????3?n3?3n??23??2???? ?§5.2 常数项级数的审敛法

一、正项级数审敛法

如果级数?un,其中un≥0,(n=1,2,3,?),则称级数?un为一正项

n?1n?1??级数;如果un≤0,(n=1,2,3,?),则称级数?un为一负项级数.将负项级

n?1?数每项乘以-1,负项级数就变成了正项级数.显然,负项级数与正项级数相比,只差一个符号,由性质1可知:正项级数与负项级数具有相同的敛散性.于是负项级数可以归结为正项级数来研究,为此,我们着重研究正项级数的敛散性.

(一)正项级数收敛的充要条件

定理一 正项级数?un收敛的充要条件是:它的部分和数列{sn}有界.即

n?1?存在某正数M,对一切自然数n sn=?uk≤M 成立

k?1n