如果部分和数列｛sn｝无界，单调增加的无界数列｛sn｝必发散，故级数发散

定理一表明：判断正项级数的收敛问题，可化为判断该级数的部分和数列｛sn｝是否有界的问题．

[例1]证明级数?证

∵

1是收敛的

n?1n?n?1?

?sn=

111????1?22?3n??n?1?=

1??1??11??11????????????? 223nn?1??????1＜1 对一切自然数n都成立，也就是说，该正项级数的n?1部分和数列有界，

=1－

∴ 该级数?1是收敛的．

nn?1?n?1?1111??????? 的敛散性． 1?2?n?n?1n???[例2]讨论正项级数 ?解 因为

11?n?1 （n=1，2，?） n?2111于是 sn???????

1?2?n?111 ≤1??2???n?1

2221?1?1???12?2n?1??2?n?1?2 = 1?121?2即对一切自然数n都有sn＜2．

也就是说：该正项级数的部分和数列有界，故级数?1收敛． n?1n??一般来说：判断sn有界并不容易，为此，往往不直接利用定理一来判断正项级数的敛散性，而是常用正项级数的比较判别法来判断正项级数的收敛性．

（二）正项级数比较判别法 定理二 比较判别法

设?un和?vn都是正项级数，且un?vn（n=1，2，?）

n?1n?1??

（1） 若级数?vn收敛，则级数?un也收敛．

n?1?n?1???（2） 若级数?un发散，则级数?vn也发散．

n?1n?1 [例3] 证明级数 1?111????3571??? 是发散的 n2?1??1111 证 因为级数的一般项un=＞＞0，而级数?与级数?有相

2n?12nn?12nn?1n同的敛散性，

?11因调和级数?是发散的，即级数?亦发散，由正项级数的比较判别法推得

n?1nn?12n?级数?1也发散．

n?12n?11111?2?3???n??（a＞0）收敛 2?a2?a2?a2?a? [例4] 证明级数

?111 证 因为级数的一般项0＜un= n＜n 而等比级数?n是收敛的，

2?a2n?12故由正项级数的比较判别法推得级数?1亦收敛． nn?12?a?[例5] 讨论p级数

解 当p≤1时

11111??????? （p＞0）的敛散性． =?pppp23nn?1n?11?；由于调和级数是发散的，根据比较判别法，当p≤1pnn时p级数是发散的；

当p＞1时，顺序把所给级数一项、两项、四项、八项?括在一起，得到

?11111??????? =pppp23nn?1n?1?1 =1??p?p3?2111??1??????p5p6p7p??41??1??????p15p??8???? ????? ?1??1111??111?1 ＜1??p?p???p?p?p?p???p?p??p2??4444??888?2?1??1??1? =1??p?1???p?1???p?1???

?2??2??2?23

但最后一个级数是等比级数，其公比q=＞1时,p—级数收敛．

综上所述：p—级数?例如 （1） 级数 1?121212p?1＜1，所以收敛．于是，当p

1当当p≤1时发散；当p＞1时收敛． pn?1n121312??131412?14??1n??

= 1?????1n12??

1＜1，故该级数发散． 2111（3） 级数 1?2?2???2??

23n为p—级数，因为其中p=2＞1，故该级数收敛．

应用比较判别法的关键在于，把所要判定的正项级数与一个已知的正项级数作比较．一般把几何级数、调和级数、p—级数作为比较级数．

对于比较判别法，在应用时还有不太方便之处，我们经常使用另外一种判别法—比值判别法．

（三）正项级数的比值判别法

定理三 比值判别法（达朗贝尔比值判别法）

为p—级数，因为其中p=

设正项级数?un之后项与前项的比值的极限等于? ，即：

n?1?u limn?1??

n??un则（1）当?＜1时，级数收敛； （2）当?＞1（或lim

un?1??）时，级数发散；

n??un（4） 当?=1时，级数可能收敛也可能发散．

[例6]判别级数 1??敛散性

解 第n项为un=

11111????1?21?2?3?1?2?3??n???的

?11

1?2?3???n?1?

于是得

un?1un11=1?2?3??n?

1n1?2?3???n?1?u1因为 limn?1=lim=0＜1

n??nn??un根据比值判别法，级数收敛．

52535n[例7]判别级数5?5?5???5?? 的敛散性．

23n5n解 第n项为un?5

n5n?1un?1?n?1?5n5于是得 ??n5un5?n?1?n5un?15n5??lim?5?1 因为lim5n??un???n?1?n5根据比值判别法，级数发散．

11?21?2?3??的敛散性． [例8]判别级数?2?3101010n?解 第n项为un?n

10un?1?n?1??10nn?1于是= ??n?1n?10un10因为limun?1n?1?? =limn??10x??un??????? 的敛散性 ?????????故级数发散

[例9]判别级数

解 第n项为un?1

?2n?1???2n?于是

un?1?2n?1???2n?1= ?un1?2n?1???2n?2?

=

n??2n?1??n?1???2n?1?

因此limn??2n?1?un?1=lim?1

x??un???n?1???2n?1?n此时，?=1,比值判别法失效，必须用其他方法判别级数的敛散性． （四）正项级数的根值判别法（柯西判别法） 设正项级数的一般项un

的n次方根等于极限L，即

limnn??un=L

则（1）当L<1时，级数收敛； （2）当L>1时，级数发散；

（3）当L=1时，级数可能收敛也可能发散．[例10]?n?n判别级数??n?1??2n?1??的敛散性．

解 因为limnnn??un=limn??2n?1=12<1

?由根值判别法知，级数???n?n2n?1??是收敛的．

n?1?

二、 交错级数

定义1 凡各项是正、负交错的级数，叫交错级数．即????1?n?1un?u1?u2?u3?u4?????1?n?1un??

n?1?un?0,n?1,2,3,?? ? 或

???1?nunn??u1?u2?u3?u?4????1?un??

n?1?un?0,n?1,2,3,?? 对于交错级数的收敛性有下面的判别方法

定理1 （莱布尼兹判别法）若交错级数

????1?n?1un?un?11?u2?u3?u4?????1?un??

n?1?un?0,n?1,2,3,??

（1）

（2）