满足下面两个条件

（1）un?un?1 （n=1，2，3，?） （2）limun?0

n??则交错级数（1）收敛，其和s?u1，其余项Rn的绝对值Rn≤un+1．．

证 先证明前2n项的和s2n的极限存在，为此把s2n写成两种形式： s2n=?u1?u2???u3?u4??...??u2n?1?u2n? 及 s2n=u1??u2?u3???u4?u5??...??u2n?2?u2n?1??u2n

根据条件（1）知道所有括号中的差都是非负的，由第一种形式可见数列｛s2n｝是单调增加的，由第二种形式可见s2n﹤u1．于是，根据单调有界数列必有极限的准则知道，当n无限增大时，s2n趋于一个极限s，并且s不大于u1：

s2n=s≤u1 limn?? 再证明前2n+1项的和s2n+1的极限也是s．事实上，我们有

s2n+1=s2n+u2n+1

由条件（2）可知 limu2n?1?0，因此

n?? lims2n?1=lim?s2n?u2n?1?=s

n??n?? 由于级数的前偶数项的和与奇数项的和趋于同一极限s，故级数???1?un的

n?1?n?1部分和sn当n??时具有极限s．这就证明了级数???1?un收敛于和s，且s

n?1?n?1≤u1．

最后，不难看出余项rn可以写成 rn=?（un+1—un+2 ＋?） 其绝对值 rn? un+1—un+2 ＋? ，

上式右端也是一个交错级数，它也满足收敛的两个条件，所以其和小于级数的第一项，也就是说 rn≤un?1 证明完毕． [例1] 判断交错级数?n?1???1?nn?1的敛散性

解 因为：

111?un?1 ；limun?lim?0 un?＞

n??n??nnn?1 由交错级数的莱布尼兹判别法可知该级数收敛． 三、 绝对收敛与条件收敛

定义2 如果级数

?un=1?n?u?u?...?un?...

［其中un（n=1，2，?）可正，可负］的每一项的绝对值所构成的级数 ?un?u1?u2?...?un?...

n?1? 收敛，则称原级数绝对收敛．

[例2] 判断级数???1?n?1?n?11 是否绝对收敛 2n 解 因为???1?n?1?n?1?11，此级数为p—级数（p=2＞1）是收敛的，??2n2nn?1所以原级数是绝对收敛的． 定义3 如果级数

??un=1?n?u?u?...?un?... 收敛，而级数

?

?un?1n?u1?u2?...?un?...发散，则称级数?un?u?u?...?un?...为

n=1条件收敛．

[例3]判断级数???1?n?1?n?11是否条件收敛． n 解 因为级数???1?n?1??n?11是交错级数，满足莱布尼兹判别法条件，所以它nn?1?11??是调和级数，是发散的，故原级数nn?1n是收敛的．但???1?n?1???1?n?1?n?11为条件收敛． n??定理2 如果级数?un绝对收敛，则级数?un必定收敛．

n?1n?1该定理告诉我们：对于一般的级数?un，如果我们能够用正项级数的收敛性

n?1?判断方法判定级数?un收敛，则级数?un收敛，这使锝一大类级数的收敛性

n?1n?1??

判定问题，转化成为正项级数的收敛性判定问题．

[例4]判定级数?n?1?sin?n??n2的收敛性．

解 因为

sin?n??n2?sinn????11≤2，而级数?2收敛，所以级数?也收敛，2nnnn?1n?1由定理2知，级数?n?1?sin?n??n2收敛．

习题5．2．

1 用比较判别法判定下列各级数的敛散性

?11 （1）?2 （2）? 2n?1n?1?2n?1?n?1? （3）?n?1??sinn?4n2 （4）?2nsinn?1?1 n3 2 用比值判别法判定下列各级数的敛散性

?5n?n?1 （1）? （2）?n

nn?1n?1?2n?1????1000??1 （3）?nsinn （4）?

n?2n?1n?1?n 3 用根值判别法判定下列各级数的敛散性

?1?n? （1）?? （2） ??nn?1?ln?n?1??n?1?3n?1????n?n?1?????n?（3）?2nn?1n23n （4）? nn?11?e? ４．判断下列级数是否收敛，如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？

111 （1）1?2?2?2?...

357 （2）1?12?13?14?...

1111n?1?... （3）1????...???1?3572n?11111????... （4）

2?ln23?ln34?ln45?ln5

（5）???1?n?1??n?11 nn?21sin （6）???1?n?1n?n?n

§5．3 幂级数

一 、函数项级数的概念

如果给定一个定义在区间I上的函数列

u1?xx,u?,u?2??3,...,u??xn?x ,...,则由这函数列构成的表达式 u1?xx?u??u?2??3...?n?u??x? （1） x?...则称为定义在区间I上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数． 对于每一个确定的值x0∈I，函数项级数（1）成为常数项级数 u1?x0??u2...?n?u?x?0?u?3?x0?? （2） x...0?这个级数（2）可能收敛也可能发散．如果（2）收敛，我们称点x0是函数项级数（1）的收敛点；如果（2）发散，我们称点x0是函数项级数（1）的发散点．函数项级数（1）的所有收敛点的全体称为它的收敛域，所有发散点的全体称为它的发散域．

对应于收敛域内的任意一个数x，函数项级数成为一收敛的常数项级数，因而有一确定的和s，这样，在收敛域上，函数项级数的和是x的函数s?x?，通常称s?x?为函数项级数的和函数，该函数的定义域就是级数的收敛域，并写成

s?xu??x?2u??1??x?3?u?x...???n?u x?...把函数项级数（1）的前n项的部分和记作sn?x?，则在该收敛域上有

sn?x??s lim??x

n??我们仍把rn?x??s?x??sn?x?叫做函数项级数的余项（当然，只有x在收敛域上rn?x?才有意义），于是有

rn?x?? 0 limn??二、 幂级数的概念及其收敛性

1 幂级数的概念

函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都是幂函数的函数项级数即所谓幂级数，它的形式是

?an?x?x0??a0?a?1x?x?0?a?x2?xn?0?n?2.an?x?x0?..??n（ ?. ..3）0特别地，当x0=0时，就有如下形式

?axnn?1?n?a0?a1x?a2x2?...?anxn?... （4）

其中常数a0,a1,a2,...an,...叫做幂级数的系数．今后我们主要讨论形如（4）的幂级数，例如 1?x?x2?x3?...?xn?...,

1?x?12131x?x?...?xn?..., 2!3!n!都是幂级数．

2 幂级数的收敛性

现在我们来讨论：对于一个给定的幂级数，它的收敛域与发散域是怎样的？即x取数轴上那些点时幂级数收敛，取那些点时幂级数发散？这就是幂级数的收敛性问题．

先看一个例子，考察幂级数

1+x+x2+ x3+?+xn+?

1的收敛性．我们知道，当x?1时，该级数收敛于和；当x?1时，该级数

1?x发散．因此，该级数的收敛区域是开区间（—1，1），发散域是???,?1?及?1,???，如果x在区间（—1，1）内取值，则

1=1+x+x2+ x3+?+xn+? 1?x在这个例子中我们看到，这个幂级数的收敛域是一个区间．事实上，这个结论对于一般的幂级数也是成立的．我们有如下定理

定理1（阿贝尔（Abel）定理）如果幂级数（4）当x?x0（x0?0）时收敛，则适合不等式x?x0的一切x使这幂级数绝对收敛；反之，如果幂级数（4）当

x?x0时发散，则适合不等式x?x0的一切x时这幂级数发散．

定理1告诉我们：如果幂级数在点x?x0处收敛，则对于开区间??x0,x0?内的任何x，幂级数都收敛；如果幂级数在点x?x0处发散，则对于闭区间

???外的任何点x，幂级数都发散． ?x0,x0?