1.求下列幂级数的收敛域 （1）x?2x2?3x3?...?nxn?...

2x2nx （2）1?x?2?...???1?2?...

2nxx2x3xn??...??... （3）?22?42?4?62?4?...?2nxx2x3xn???...??... （4）

1?32?323?33n?3n22222332nxn?... （5）x?x?x?...?22510n?1（6）?n?1??x?5?nn

2.利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数．

（1）?nxn?1

n?1?x4n?1（2）?

n?14n?1?x3x5x2n?1?...??... （3）x??352n?1?12n?11?1? 3. 求级数?并求? x在收敛区间??1,1?内的和函数，??．2n?12n?12??n?0n?0?2n4 .将下列函数展开成x的幂级数，并求其收敛区间．

ex?e?x1、f?x?? 2、f?x??ln?a?x?

23、f?x??ax 4、f?x??sinx 2???5、f?x??sin2x 6、f?x??sin??x?

?4?5.将下列函数展开成x?x0的幂级数 1、f?x??1 x0?3 x

2、f?x??cosx x0?? 3、f?x??

§5．4 傅里叶级数

1 x0?1 2x?2x?3?3

这一节我们在函数级数的一般理论的基础上，讨论各项皆为三角函数（正弦函数和余弦函数）的所谓傅里叶级数的收敛性以及如何把已知函数展成傅里叶级数的问题．傅里叶级数是一类非常重要的函数级数．它在电学、力学、声学和热力学等学科中都有着广泛的应用． 一、三角级数、三角函数系

在自然界和工程技术中，周期运动的现象是很多的．例如，较简单的周期运动有单摆的摆动，蒸汽机活塞的往复，交流电的电流和电压等，较复杂的周期运动有机械振动、热传导等．其中最简单的周期运动即所谓的简谐振动可用正弦函数（也可用余弦函数）y?Asin??t???来描述，其中A为振幅，?为角频率，t为时间，?为初相角，简谐振动的周期为T?是几个简谐振动

2??，较复杂的周期运动

yk?Aksin?k?t??k? ?k?1,2,3,n...? ,的叠加

y??yk??Aksin?k?t??k?

k?1k?1nn为了讨论问题方便起见，令?t?x．于是每个简谐振动

yk?Aksin?kx??k? ?k?1,2,3,n...? ,的周期为T?函数级数

A0??Ansin?nx??n?

n?1?2?，它们具有共同的周期2?．无穷多个简谐振动的叠加，得到k如果此函数级数收敛，则它表示更为复杂的周期运动．此函数级数收敛的一般项可表示为

Ansin?nx??n?=An?sin?ncosnx?cos?nsinnx? =Ansin?ncosnx?Ancos?nsinnx 如果用

a0表示A0，an表示Ansin?n，bn表示Ancos?n，则上述函数级数可表2

示为

a0????ancosnx?bnsinnx? （1） 2n?1称（1）式为三角级数，其中a0，an，bn?n?1,2,3,...?称为三角级数（1）的系数．函数蔟

1 ， cosx， sinx， cos2x， sin2x，?，cosnx，sinnx，? （2） 称为三角函数系．

二、 三角函数系的性质

三角函数系（2）如下的性质：

（1） 三角函数系中所有函数都具有共同的周期2?

（2 ）三角函数系中，任何两个不相同的函数的乘积在闭区间???,??上的积分等于0．事实上，

????1?cosnxdx???cosnxdx?0 ?n?1,2,3?, ...??????1?sinnxdx??sinnxdx?0 ?n?1,2,3?, ...?????cosmxsinnxdx?0

????cosmxcosnxdx?0 ?m?n?

????sinmxsinnxdx?0 ?m?n?

??（2） 三角函数系中，任何一个函数的平方在闭区间???,??上的积分不等于

0．事实上，

???1dx?2?

?21?cosnx2?? ?n?1,2,3?, ...?????2??1?cosnx22?? ?n?1,2,3?, ... ?sinnxdx??????2?co2snxdx??? 一般说来，如果两个非恒为0的函数f?x?与g?x?皆在闭区间?a,b?上可积，且

b??x?f?x?gadx=0

则称函数f?x?与g?x?皆在闭区间?a,b?上正交．

显然，三角函数系（2）中任何两个函数在闭区间???,??上正交，因此，称三角函数系（2）在闭区间???,??上是正交函数系．

三、函数展开成傅里叶级数

设f?x?是周期为2?的周期函数，且能展开成三角级数

a0? f?x?= ???ancosnx?bnsinnx? （3）

2n?1我们自然要问：系数a0,a1,b1,a2,b2,...与函数f?x?之间存在着怎样的关系？换句话说，如何利用f?x?把a0,a1,b1,a2,b2,...表达出来？利用三角函数系（2）正交性及积分的有关知识，有下面的结果．（证明不作要求）

1?an??f?x?cosnxdx ?n?0,1,2,3? ,...???1?bn??f?x?sinnxdx ?n?1,2,3?, ...??? 如果以上公式中的积分都存在，这时通过它们求出的系数a0,a1,b1,a2,b2,...叫做函数f?x?的傅里叶系数，将这些系数代入（3）式右端，所得的三角级数

a0????ancosnx?bnsinnx? 2n?1叫做函数f?x?的傅里叶级数．

一个定义在???,???上的周期为2?函数f?x?，如果它在一个周期上可积，则一定可以作出f?x?的傅里叶级数．然而，函数f?x?的傅里叶级数是否一定收敛？如果它收敛，它是否一定收敛于函数f?x?？一般来说，这两个问题的答案都不是肯定的，那么，f?x?在怎样的条件下，它的傅里叶级数不仅收敛，而且收敛于f?x?？也就是说，f?x?满足什么条件可以展开成傅里叶级数？这是我们面临的一个基本问题． 下面我们给出一个收敛定理（不加证明），它给出关于上述问题的一个重要结论．

定理 （收敛定理） 设f?x?是周期为2?的周期函数，如果它满足：

（1） 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点， （2） 在一个周期内至多只有有限个极值点，

则f?x?的傅里叶级数收敛，并且

当x是f?x?的连续点时，级数收敛于f?x?；

当x是f?x?的间断点时，级数收敛于

1?f?x?0??f?x?0??． 2 此定理告诉我们：只要函数在???,??上至多有有限个第一类间断点，并且不作无限次振动，函数的傅里叶级数在连续点处就收敛于该点的函数值，，在间断点处收敛于该点左极限与右极限的算术平均值．可见，函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低得多．记

?1? C??xf?x???fx?0?fx?0??????， ??2??在C上就成立f?x?的傅里叶级数展开式

a0????ancosnx?bnsinnx? x?C f?x?=

2n?1例1 设f?x?是周期为2?的周期函数，它在???,??上的表达式为

??1,???x?0 f?x???

1,0?x???将f?x?展开成傅里叶级数．

解 所给函数满足收敛定理的条件，它在x?k??k?0,?1,?2,...?处不连续，在其它点处连续，从而由收敛定理可知f?x?的傅里叶级数收敛，并且当

x?k?时级数收敛

1?1?11???1?f?x?0??f?x?0??=??0 ?222当x?k?时级数收敛于f?x?，和函数的图形如下

计算傅里叶系数如下：

1?an??f?x?cosnxdx

???101 =???1?cosnxdx???????01?cosnxdx