这么好的日志只在小众范围内流传太可惜了，几天之后我决定把它贴过来变成日志，另外这里也有
转载过。
44个精彩的物理趣题 （转自MATRIX67）
这个 Blog 几乎一直在讲数学趣题，却很少提到物理趣题。其实，我个人觉得，物理也是相当好玩的（我是化学不好才选的文科）。隐约记得初中搞物理竞赛时，曾见过大量让人大呼过瘾的好题。前几天看到了
一个绝好的网站，里面有相当多的物理题目，让我激动了好一阵子。我搜集整理了里面的一些好题，
加上了我自己的一些补充，在这里和大家分享。不过，由于我的物理实在不怎么样，如果出现什么错误，请大家及时纠正。
那个网站上的“官方解答”并不见得靠谱，也不知是因为我没有悟到，还是因为它真的不靠谱。不管怎样，我给出的基本上还是它的官方答案。其实，阅读过程中你会发现，答案是次要的，真正有趣的其实是问题本身。
几乎从没写过物理题目的 Blog ，想要用一篇文章总结物理趣题，因此毫无疑问——这是一篇非常，非常，非常长的文章。建议大家用自己喜欢的方式做个书签，一天看一点。如果觉得还不过瘾，推荐订阅物理大牛 EagleFantasy 的 Blog。
另外，此日志一出，想必又会收到无数邮件，询问我作图用的什么工具的。在此就先回答了——请见
FAQ 。
开始吧。
有一块 V 字形木板，两侧与地面的夹角都是 θ 。一根密度均匀的绳子放在木板上，绳子与木板之间的摩擦系数为 1 。整个系统左右对称。没挨着木板的那段绳子所占的比例最大是多少？此时 θ 是多少度？
用一些非常初等的方法可以得到，答案是 (√2 - 1)2 ≈ 0.172 ，此时 θ = 22.5° 。具体解答可以见
http://star.tau.ac.il/QUIZ/05/sol_rope.pdf 。
一个长、宽、高分别为 a 、 b 、 c 的长方体物块，斜靠在一个墙角。由于墙壁和地面都是完全光滑的，因此物块将会开始下滑。什么时候，物块会脱离墙壁？
为了解决这个问题，首先需要把物块和地面的夹角记作 θ ，物块下滑过程中的各种物理量都可以用 θ 来表示。然后，解决这个问题的关键就在于，当物块脱离墙壁时，物块向右的加速度就消失了，这个临界点就由等量关系 dvx / dθ = 0 给出。不过，由此产生的方程非常复杂，我们只能用数值的方式去解它。
有一个半圆柱体横放在水平桌面上，截面的半径为 R 。我们在半圆柱体上放一块木板，试图让它在半圆上保持平衡。假如这块木板非常薄，那么这块木板很容易放稳，即使有些小动静，木板也会自动恢复平衡。但考虑 另外一个极端，假如这是一块非常厚非常厚的木板（甚至是大楼一般的形状），它显然不能稳放在这个半圆上。那么，这中间一定会有一个临界点。这个临界点在哪 里？换句话说，这个半圆上最多能放稳一块多厚的木板？
把半圆的半径记作 R ，把木板的厚度记作 t 。如果把木板平放在半圆上，其重心的高度就是 R + t/2 。假如这块木板倾斜了一个微小的角度 θ ，那么图中 M'T 的长度等于弧 MT 的长度，即 2πR·(θ/2π) = R·θ 。此时，木板的重心 G' 的高度变为了 (t/2)cosθ + (R·θ)sinθ + R·cosθ。为了让木板保持平衡，不会自动往
下滑，我们需要让新的重心高度大于原来的重心高度，即 (t/2)cosθ + (R·θ)sinθ + R·cosθ > R + t/2。解出不等式，再令 θ→0 ，即可得到 t < 2R。也就是说，一旦木板的厚度超过半圆的直径，木板就无法放稳了。
假如你面向东边，站在冰面上，鞋底与冰面完全没有摩擦。你能否做出一系列动作，使得自己最后能面向西边站立？
可以。只需要重复“伸臂－挥臂－屈臂”的动作，你的身体便会向反方向转动一点。期待实验党。
用过多年的插座（尤其是插过大功率电器的插座），右边的孔（火线）往往会有过热的迹象。如果是劣质插座，加上经常插拔插头的话，右边的孔甚至会有烧黑了的痕迹。明明是通过相同大小的电流，为什么右边的孔会被烧得更厉害呢？
目前，这个问题没有一个所谓的标准答案。当然，这个现象本身是否存在也是存疑的。大家不妨来说说自己家里插座的情况。
呼拉圈是怎么转起来的？人应该做一个什么样的运动？呼拉圈的转动频率是由什么决定的？和人的体形、运动速度、运动方式有关系吗？是否存在一个最优的频率？??
我有几件事情死活搞不明白，吹泡泡是怎么吹出来的，小舌颤音是怎么发出来的，骑车不动把手是怎么实现拐弯的??当然，还有呼拉圈是怎么转起来的。和呼拉圈有关的问题似乎永远也列举不完。如果你真的把它当成一回事仔细分析，你会发现这不是一般的困难。
2004 年， Biological Cybernetics 上发表了一篇长达 15 页的论文，论文题目是 Coordination Modes in the Multi-Segmental Dynamics of Hula-Hooping 。这篇论文终于不负众望，成功地摘得了诺贝尔奖——当然，是搞笑版的。
投一枚硬币，如果是正面，我就去打球，如果是反面，我就去打游戏，如果立起来，我就去学习。不知
道大家第一次看到这个笑话时，有 没有想过，如果一枚硬币真的有 1/3 的概率正面朝上，有 1/3 的概率反面朝上，有 1/3 的概率立起来，那么这个硬币的半径与厚度满足什么样的关系？
这枚硬币必须满足，把它立起来后，即使倾斜 30 度仍然不倒。这样，硬币直立的“势力范围”才会达到 120 度。因此，硬币的直径应该是厚度的 √3 倍。
考虑某颗星球，它由某种密度均匀的物质组成，其质量为 M ，体积为 V 。如果这颗星球是一个球体，那么它的半径 R = ((3V) / (4π))1/3，星球表面上的重力加速度则为 g = GM / R2 = GM((4π) / (3V))2/3，其中 G 是万有引力常数。
考虑这颗星球所有可能的形状，怎样的形状才会让星球表面的某一点重力加速度达到最大？最大值是多少？
下图就是让表面某处的重力加速度达到最大的星球形状。这个图形是一个稍微有些变形的球体，整个图形是一个以 z 方向为轴的旋转体，顶端的 m 点即是重力加速度最大的点，它的重力加速度为 g = (4/5)(15/4)1/3π2/3M / V2/3，只比球形星体的重力加速度大 2.6% 。这是又一个经典的例子——圆形似乎并不是那么完美。
这个问题的解法非常漂亮。首先，假设我们想要让星体表面上的某个点 m 的重力加速度最大，并且所受重力方向在 z 轴上，那么这个星体必然是沿 z 轴方向对称的。否则，取出不对称的一层，把多的部分填进少的部分让它变成一个完全对称的圆盘，这将会让 m 点在竖直方向上的受力变大。不断这样做直到这个图形沿 z 轴完全对称，显然就得到了一个更优的形状。
接下来的步骤就真的神了。现在，在星体上取一个非常细的圆环，假设它的质量是 dM 。那么，这个圆
环所贡献的重力加速度大小就是 G·dM·cosθ /r2 。如果把这个圆环从星体中挖掉，放到其它的位置上，那么新的圆环将会有新的 r 值和 θ 值。当整个形状达到最优时，这个形状将位于“极值点”的位置，也就是说它的“微分”为 0 ，任何微小的变动都不会改变 m 的加速度。这就意味着， cosθ / r2 是一个常数。这个条件就确定出整个星体的形状。
Fermat 光程最短原理指出，光从 A 点到 B 点，总是沿着最快的路径传播。这一神奇的定律一下子就把直线传播定律、反射定律、折射定律统一在了一起。不过，后来我们知道了，更一般的描述应该是，光总 是沿着光程处于驻点的路径传播。为什么会加上这一条？有没有光程极大的例子呢？
这里有一个例子。考虑椭圆内的两个焦点 A 、 B ，和椭圆上的一点 M 。显然，不管 M 取在哪儿， AM + BM 都是相同的。现在，在椭圆内部画一条曲线，这条曲线与椭圆相切于 M 点。然后，擦掉原来的椭圆，把这条曲线视作镜面。显然， AMB 仍然是一条反射光线，但从其它地方反射，光程都会小于 AMB 。 AMB 是一个光程极大的路径。
物理量的单位总是由基本单位（质量、长度、时间等）的幂相乘得来的。比如，能量的单位就是 1J = kg·m2·s-2 。为什么没有什么物理量，它是由基本单位通过更复杂的形式导出的？比如说，为何没有什么物理量，它的单位是 sin(kg)·log(m) ？
这是一个非常有趣，无疑也是非常深刻的问题。它让我们开始认真思考一个看上去很不像问题的问题：什么是物理量？什么是物理单位？我们需要去挖掘物理量和物理单位的最基本、最本质的性质。 网站上的标准答案是，只有这种形式的导出单位才能保证，在不同的单位制下，得到的导出单位是等价的。
具体地说，物理单位的作用就是用来描述，当各个基本单位的尺度变化以后，这个物理量会发生怎样的变化。比如说，密度单位是质量除以长度的三次方， 就表明如果质量扩大到原来的 2 倍（或者说单位量变成了原来的 1/2 ），长度扩大到原来的 4 倍（或者说单位量变成了原来的 1/4 ），那么这个物理量将会变成原来的 2/43 = 1/32 。
现在，假设某个物理量的单位是质量的正弦乘以长度的对数。按照国际标准单位制，这个单位是 sin(kg)·log(m) 。假如单位换成了 sin(g)·log(cm) ，那么这个物理量将会变成原来的 sin(1000)·log(100) ≈ 3.80792 。再继续换算成 sin(mg)·log(mm) ，物理量应该继续变成原来的 sin(1000)·log(10) ≈ 1.90396 。但是，如果从 sin(kg)·log(m) 直接变到 sin(mg)·log(mm) ，物理量应该变成原来的 sin(1 000
000)·log(1000) ≈ -2.41767 ，这就和前面的结果矛盾了。利用一些微积分知识可以证明，如果一个合成物