44个精彩的物理趣题 下载本文

理单位不会出现这样的问题,它必然是基本单位的幂的乘积的形式。 不过,这个解释并不能让我十分满意。大家怎么看呢?

有一个无穷大的正方形网格,每条小线段都是 1Ω 的电阻丝。求相邻两点间的等效电阻阻值。

这个问题有一个很妙的解法。假设一个大小为 1A 的电流从红点处流入,从各个无穷远处流出。由对称性,有 (1/4)A 的电流将会流过红蓝两点之间的线段。现在,再假设一个大小为 1A 的电流从各个无穷远处流入,从蓝色点流出。由对称性,红蓝两点之间的线段仍然有 (1/4)A 的电流。现在,把两种情况叠加在一起看,大小为 1A 的电流从红点进去从蓝点出来,那么,红蓝两点间的线段就有 (1/2)A 的电流。因而,两点间的电压就是 (1/2)A·1Ω = (1/2)V 。因而两点间的等效电阻就是 (1/2)V / 1A = (1/2)Ω。 说到无穷网格电阻的问题,我们有说不完的话题。这个问题本身的扩展非常之多。例如,我们可以把问题扩展到 N 维的情形:N 维无限电阻网格中,相邻两点的等效电阻是多少?利用同样的方法可以得出,答案就是 1/N。

回到二维情形,如果我们换一个扩展方向,改问对角两点间的电阻,上述分析方法就不行了。而这个加强版问题的答案也更加玄妙:两点间的阻值为 (π/2)Ω 。大家可以在网上很多地方查到这个加强版问题的解法。

xkcd 有一个经典漫画,形象地描绘出 nerd 们被数理趣题折磨的感受。当然,这幅画本身也折磨了不少人,网上涌现出大量对这个问题的讨论。

还有一种经典的无穷电阻问题:一个向右无穷延伸的梯子形网格,每条线段都是 1Ω 的电阻,求两点间的等效电阻。

问题的解法非常漂亮。假设我们要求的答案是 R,则 R 可以看作是三个 1Ω 的电阻串联,然后把一个阻值为 R 的电阻(也就是它本身)与中间那个 1Ω 电阻并联所得。于是得到等量关系 R = 1 + 1/(1+1/R) + 1,解得 R = 1 + √3。

还有一些经典的求电阻问题。其中一个问题是,一个正方体的 12 条棱上各有一个 1Ω 的电阻,求距离最远的两个顶点之间的等效电阻。 2007 年 10 月份 IBM Ponder This 的题目则是,分别考虑五种正多面体,如果每条棱上各有一个 1Ω 的电阻,则相邻两顶点的等效电阻是多少?巧妙地利用对称性,这几个问题都可以迅速被秒杀。

假设有一个圆锥形的冰山,冰山表面绝对光滑。你打算把一个绳圈套在山尖上,然后沿着绳索爬上去。考虑两个极端情况:如果冰山特别 尖,顶角特别小,这个计划自然不成问题;但若冰山特别“肥”,顶角特别大,向下拉绳子后,绳圈将会滑出山尖。这中间一定有一个临界点,也就是绳圈掉不出来 的最大顶角。这个顶角是多大?

这是一个非常有趣的问题。问题的本质就是,绳圈在怎样的圆锥面上才存在“被拉紧”的稳定状态。容易想到,绳子被拉紧,意味着绳圈从 A 点出发,将沿最短路径绕过山尖一周,再回到 A 点。如果把圆锥的侧面展开成扇形,绳圈其实就像下面这样(图中的 A 点和 A' 点在圆锥上是同一个点)。

显然,当这个扇形的顶角小于 180 度时,这样的绳圈才可能存在;而当这个扇形的顶角大于 180 度时,拉紧的绳圈就会滑到山尖外面去。据此不难推出,所求的临界情况就是,圆锥的高与母线的夹角为 30 度。

n 块相同的木板重叠,最多能够伸出桌面多远?

这是一个非常经典的问题。传统的答案是,把第一块木板的重心放在第二块木板的右边缘,把这两块木板的重心放在第三块木板的右边缘,把这三块 木板的重心放在第四块木板的右边缘??利用杠杆原理可以推出,如果每块木板都是单位长,那么 n 块木板可以伸出桌面 (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n) / 2 个单位的长度。由调和级数的性质,我们立即可以得知,只要木板数量足够多,木块伸出桌面的长度是没有上界的,想伸出去多长就能伸出去多长。但同时,这个增 长速度也非常缓慢?? 20 块木板只能伸出大约 1.79887 个单位的长度, 1000 块木板也只能伸出大约 4.8938 个单位的长度。

不过,采用一些其它的方案(比如拿几块木板在后方作为“配重”),我们可以让木板伸出的长度更远。下面是一篇非常经典的论文,总结了目前对这个问题的研究结果:

http://arxiv.org/abs/0707.0093 。

上楼时,人克服重力做功,需要耗费很多能量。但是,在平地上行走时,人并没有做功。那么,为什么我们走路时还要耗费能量呢?

1999 年 3 月的 Scientific American 上说到,其实在步行时,我们也是要克服重力做功的。这是因为,在步行的过程中,人的重心会一上一下地摆动。当两腿一前一后着地时,人的重心偏低;而单腿着 地迈步时,人的重心会升高大约 3cm 。我们走路的能量主要就消耗在了这里。

当然,事实上,即使人不走路,光是原地站着,也是要耗费能量的(大约为 80W )。假设人的步行速度是 v ,那么步行所用的能量可以用公式 P = 80W + K·v 大致算出,其中 K·v 就是步行过程中耗费的能量,系数 K 大约为 160N 。

教中学物理最怕聪明孩子,一些古怪的问题常常会让老师也支支吾吾答不上来。初中物理中,有几个最不好给学生解释的事情。走路不做功,为什么还要耗 费能量?电流从电厂来又回到电厂去,为什么我们还要支付电费?把装满水的水杯不盖纸片直接倒过来,为什么大气压没有把水支撑起来?拳头打在墙上后将会受到 墙给拳头的反作用力,但若拳头挥空了,这个力的反作用力是什么? 你都打算怎么解释?

橄榄油的沸点是 300℃ ,锡的熔点是 231.9℃ 。为什么我们能在锡锅里炸东西?

答案:橄榄油并没有沸腾,沸腾的其实是食物里的水。而且,正是食物里的水才让橄榄油和锡锅都保持在 100℃ 。如果食物里的水被烧干了,食物就会被烧焦,锡锅当然也会被烧毁。

在晃动的火车车厢上,把一瓶水放在小桌子上。如果想让这瓶水放得更稳,有一个极其简单的方法。这个方法是什么?

答案:喝掉一部分水,让整瓶水的重心下降。

注意,这里又有一个有趣的极值问题。如果瓶子里装满水,整个系统的重心显然要比只装有一部分水时更高;但若把水全部喝掉,只剩一个空瓶子,整个系统的重心仍然会比有一部分水时高。建立模型,求出使得整个系统重心最低的水位高度,是一个绝佳的物理课题。

有一个蛮有意思的结论:当整个系统的重心达到最低时,水位一定和此时整个系统的重心高度相同。其实这个很好理解:当水位没有达到整个系统的重心高 度时,每加一点水,都相当于在重心下方填充质量,让重心下降;但水位高度超过了整个系统的重心,则每加一点水,都相当于在重心上方新添质量,重心便会开始 上升了。

12 节 1V 的电池首尾相接,然后将一块电压表如图连接。电压表的示数是多少?