保险精算（第二版）

第一章：利息的基本概念

练 习 题

1．已知a?t??at2?b，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。

a(0)?b?1a(5)?25a?b?1.80.8 ?a?,b?125300*100Qa(5)?300180300*100300*100?a(8)?(64a?b)?5081801802．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定i1,i3,i5。

i1?A(1)?A(0)A(3)?A(2)A(5)?A(4)?0.1,i3??0.0833,i5??0.0714

A(0)A(2)A(4)n(2)假设A?n??100??1.1?，试确定 i1,i3,i5 。

i1?A(1)?A(0)A(3)?A(2)A(5)?A(4)?0.1,i3??0.1,i5??0.1

A(0)A(2)A(4)3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5

年后的积累值。

500a(3)?500(1?3i1)?620?i1?0.08?800a(5)?800(1?5i1)?1120500a(3)?500(1?i2)?620?i1?0.0743363?800a(5)?800(1?i3)5?1144.974．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 i1?10%，第2年的利率为i2?8%，第3年的利率为 i3?6%，求该笔投资的原始金额。

3

A(3)?1000?A(0)(1?i1)(1?i2)(1?i3)?A(0)?794.1

5．确定10000元在第3年年末的积累值:

1

(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。 (2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。

i(4)1210000a(3)?10000(1?)?11956.1841?? ()4?i?10000a(3)?10000?1??11750.081????4?346．设m＞1，按从大到小的次序排列d?d(m)???i(m)?i。

7．如果?t?0.01t，求10 000元在第12年年末的积累值。、

?tdt10000a(12)?10000e?0?10000e0.72?20544.33

128．已知第1年的实际利率为10%，第2年的实际贴现率为8%，第3年的每季度计息的年名义利率为6%，第4年的每半年计息的年名义贴现率为5%，求一常数实际利率，使它等价于这4年的投资利率。

i(4)4i(2)2(1?i)?(1?i1)(1?d2)(1?)(1?)42 ?1.1*1.086956522*1.061363551*1.050625?1.333265858 ?i?0.745563364?19．基金A以每月计息一次的年名义利率12%积累，基金B以利息强度?t?基金存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一时刻。

t积累，在时刻t (t=0)，两笔6a1(t)??1.01?a2(t)?e?0??1.01?t12tt212?tdt?et212

12t?e,t?1.43284764310. 基金X中的投资以利息强度?t?0.01t?0.1(0≤t≤20), 基金Y中的投资以年实际利率i积累；现分别投资1元，则基金X和基金Y在第20年年末的积累值相等，求第3年年末基金Y的积累值。

a1(t)??1?i?a2(t)?e?0tt0.01t2?0.1t2?tdt?e??1?i??e200.01*202?0.1*202

?e4?1?i?3?1.822111. 某人1999年初借款3万元，按每年计息3次的年名义利率6%投资，到2004年末的积累值为（ ）万元。

A. 7.19 B. 4.04 C. 3.31 D. 5.21

i(3)3*53(1?)?3*1.0215?4.0376

3

2

12.甲向银行借款1万元，每年计息两次的名义利率为6%，甲第2年末还款4000元，则此次还款后所余本金部分为（ ）元。

A.7 225 B.7 213 C.7 136 D.6 987

i(2)2*2(1?)?1.034?1.1255

2第二章：年金

练习题

1．证明vn?vm?iam?an。

??1?vm1?vni?am?an??i(?)?vn?vm

ii2．某人购买一处住宅，价值16万元，首期付款额为A，余下的部分自下月起每月月初付1000元，共付

10年。年计息12次的年名义利率为8.7% 。计算购房首期付款额A。

1?v1201000a120?1000?79962.96(i?8.7%/12) i?160000?79962.96?80037.043. 已知a7?5.153 , a11?7.036, a18?9.180, 计算 i。

?1?a18?a7???a11

1?i???i?0.082994．某人从50岁时起，每年年初在银行存入5000元，共存10年，自60岁起，每年年初从银行提出一笔款作为生活费用，拟提取10年。年利率为10%，计算其每年生活费用。

7?1?&&&&5000a?x??a1010

?1?i??x?12968.71235．年金A的给付情况是：1～10年，每年年末给付1000元；11～20年，每年年末给付2000元；21～30年，每年年末给付1000元。年金B在1～10年，每年给付额为K元；11～20年给付额为0；21～30年，每年年末给付K元，若A与B的现值相等，已知v101010?1，计算K。 220?1??1?A?1000a10?2000?a?1000?10??a101?i1?i?????1?B?Ka10?K??a101?i??A?B?K?1800 6． 化简a101?v10?v20 ，并解释该式意义。

20

??a10?1?v10?v20??a30

3

7. 某人计划在第5年年末从银行取出17 000元，这5年中他每半年末在银行存入一笔款项，前5次存款每次为1000元，后5次存款每次为2000元，计算每年计息2次的年名义利率。

?1??1?1000a5?2000?a?17000?5???1?i??1?i?

?i?3.355% 8. 某期初付年金每次付款额为1元，共付20次，第k年的实际利率为

5101，计算V(2)。 8?kV(2)?1??1?111??L?1?i1(1?i1)(1?i2)(1?i1)L(1?i19)999??L101128

9. 某人寿保险的死亡给付受益人为三个子女，给付形式为永续年金，前两个孩子第1到n年每年末平分所领取的年金，n年后所有的年金只支付给第三个孩子，若三个孩子所领取的年金现值相等,那么v=( )

?1??1?n A. ?? B. 3n C. ?? D.3

?3??3?1an?vna?21?vn1?2vn ii1vn?3 11. 延期5年连续变化的年金共付款6年，在时刻t时的年付款率为?t?1?,t时刻的利息强度为1/(1+t),该年金的现值为（ ）

A.52 B.54 C.56 D.58

2a?v(t)(t?1)dt5|6?5111n1n2111 ?t??dta(t)t?1te?0111?5|a6??(t?1)2dt?545t?1v(t)?

第三章：生命表基础

练习题

1．给出生存函数s?x??e?x22500，求：

(1)人在50岁～60岁之间死亡的概率。 (2)50岁的人在60岁以前死亡的概率。 (3)人能活到70岁的概率。

(4)50岁的人能活到70岁的概率。

4

P(50?X?60)?s?50??s(60)s?50??s(60)10q50?s(50)P(X?70)?s(70)20p50?

s?70?s(50) 2. 已知Pr［5＜T(60)≤6］=0.1895，Pr［T(60)＞5］=0.92094，求q60。

5|q60?s?65??s(66)s?65??0.1895,5p60??0.92094s(60)s(60)s?65??s(66)?q65??0.2058s(65) 3. 已知q80?0.07，d80?3129，求l81。

q80?d80l80?l81??0.07 l80l80 4. 设某群体的初始人数为3 000人，20年内的预期死亡人数为240人，第21年和第22年的死亡人数分别为15人和18人。求生存函数s(x)在20岁、21岁和22岁的值。

s(20)?d1?L?d20d?L?d21d?L?d22?0.92,s(21)?1?0.915,s(22)?1?0.909

l0l0l0 5. 如果?x?22,0≤x≤100, 求l0=10 000时，在该生命表中1岁到4岁之间的死亡人数为?x?1100?x（ ）。

A.2073.92 B.2081.61 C.2356.74 D.2107.56

?dx?100?x???0x?1100?x0s(x)?e?e????x?1?

l0(s(1)?s(4))?2081.61?x?xdx?x222 6. 已知20岁的生存人数为1 000人，21岁的生存人数为998人，22岁的生存人数为992人，则|q20为

1（ ）。

A. 0.008 B. 0.007 C. 0.006 D. 0.005

1|q20?l22?l21?0.006 l20第四章：人寿保险的精算现值

练 习 题

5