3cos 20°＋sin 20°－sin 20°3cos 20°
＝＝3.
sin 70°sin 70°ππππππ
(2)原式＝tan[(－θ)＋(＋θ)][1－tan(－θ)·tan(＋θ)]＋3tan(－θ)tan(＋θ)＝3.
666666
例2 解题导引 对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”，使“所求角”变为“已知角”，若角所在象限没有确定，则应分类讨论．应注意公式的灵活运用，掌握其结构特征，还要学会拆角、拼角等技巧．
ππ3－α?＝sin?＋α?＝， 解 cos??4??4?5π3π
∵0<β<<α<，
44ππ3π3π
∴<＋α<π，<＋β<π. 2444
ππ4＋α?＝－1－sin2?＋α?＝－， ∴cos??4??4?53π?3π12＋β＝－1－sin2?＋β?＝－. cos??4??4?13
?π＋α?＋?3π＋β?? ∴sin[π＋(α＋β)]＝sin???4??4??
π??3π?π3π
＋αcos＋β＋cos?＋α?sin?＋β? ＝sin??4??4??4??4?1245356－?－×＝－. ＝×?5?13?51365
56
∴sin(α＋β)＝.
65
π1＋tan α＋α?＝2，得变式迁移2 解 (1)由tan?＝2， ?4?1－tan α
1
即1＋tan α＝2－2tan α，∴tan α＝. 3
sin?α＋β?－2sin αcos β(2) 2sin αsin β＋cos?α＋β?
sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β＝ 2sin αsin β＋cos αcos β－sin αsin β
－?sin αcos β－cos αsin β?－sin?α－β?＝＝
cos αcos β＋sin αsin βcos?α－β?
tan α－tan β
＝－tan(α－β)＝－
1＋tan αtan β
11－321＝－＝. 1171＋×32
例3 解题导引 (1)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原则：
①已知正切函数值，选正切函数；
π
0，?，选正、余弦皆可；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是??2?ππ
－，?，选正弦较好． 若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为??22?(2)解这类问题的一般步骤： ①求角的某一个三角函数值； ②确定角的范围；
＝
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③根据角的范围写出所求的角．
α1
解 (1)∵tan ＝，
22ααα2·?＝2sin cos ∴sin α＝sin??2?22ααα12sin cos 2tan 2×
22224
＝＝＝＝. ααα?1?25sin2＋cos21＋tan21＋222?2?π43
(2)∵0<α<，sin α＝，∴cos α＝. 255π
又0<α<<β<π，∴0<β－α<π.
2
272
由cos(β－α)＝，得sin(β－α)＝. 1010
∴sin β＝sin[(β－α)＋α]
＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α 723242522＝×＋×＝＝. 105105502π3由<β<π得β＝π. 24
23
(或求cos β＝－，得β＝π)
24变式迁移3 解 ∵A、B均为钝角且sin A＝∴cos A＝－1－sin2A＝－
510
，sin B＝， 510
225
＝－，
553310
cos B＝－1－sin2B＝－＝－.
1010
∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B
25?310?5102＝－×－－×＝.①
5102?10?5ππ
又∵ 22∴π 7π 由①②，知A＋B＝. 4 课后练习区 1．D 2.D 3.B 4.A 5.A 1226．－ 7.－ 8.3 －π 2113 π?5，π，cos β＝－， 9．解 (1)∵β∈??2?13 12 ∴sin β＝.…………………………………………………………………………(2分) 13ππ 又∵0<α<，<β<π， 22 π3π33∴<α＋β<，又sin(α＋β)＝， 2265∴cos(α＋β)＝－1－sin2?α＋β? 33?256 ＝－ 1－?＝－，…………………………………………………………(4分) ?65?65 第 7 页 共 9 页 ∴sin α＝sin[(α＋β)－β] ＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β 33?5??56?123 －－－·＝.…………………………………………………………(6分) ＝· 65?13??65?135(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β] 11－27tan?α－β?＋tan β1 ＝＝＝，……………………………………………………(8分) 1131－tan?α－β?tan β 1＋×27 ∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)] 11＋32tan α＋tan?α－β? ＝＝＝1.……………………………………………………(10分) 111－tan αtan?α－β? 1－×3211 ∵α，β∈(0，π)，tan α＝<1，tan β＝－<0， 37 ππ ∴0<α<，<β<π， 42 3π ∴－π<2α－β<0，∴2α－β＝－.……………………………………………………(12分) 4 10．(1) ①证明 如图，在直角坐标系xOy内作单位圆O，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于点P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于点P3；角－β的始边为OP1，终边交⊙O于点P4. 则P1(1,0)，P2(cos α，sin α)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P4(cos(－β)，sin(－β))， …………………………………………………………………………………………(2分) 由|P1P3|＝|P2P4|及两点间的距离公式， 得[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β) ＝[cos(－β)－cos α]2＋[sin(－β)－sin α]2， 展开并整理得： 2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.……………………………………………………(4分) π? ②解 由①易得，cos??2－α?＝sin α， π?sin??2－α?＝cos α. π?sin(α＋β)＝cos??2－?α＋β?? ?π－α?＋?－β?? ＝cos???2??ππ －α?cos(－β)－sin?－α?sin(－β) ＝cos??2??2?＝sin αcos β＋cos αsin β. ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.……………………………………………………(7分) (2)解 由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c. 第 8 页 共 9 页 11则S＝bcsin A＝， 22→→AB·AC＝bccos A＝3>0， π 0，?，cos A＝3sin A，……………………………………………………………(9∴A∈??2?分) 又sin2A＋cos2A＝1， 10310 ∴sin A＝，cos A＝， 101034 由cos B＝，得sin B＝. 55 10 . 10 ……………………………………………………………………………………………(11∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B＝分) 10. 10 ……………………………………………………………………………………………(12故cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－分) 11．解 (1)依题设得f(x)＝2cos2x＋3sin 2x π 2x＋?＋1. ＝1＋cos 2x＋3sin 2x＝2sin?6?? π 2x＋?＋1＝1－3， 由2sin?6??π3 2x＋?＝－.……………………………………………………………………(3分) 得sin?6??2ππππ5π∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤. 33266πππ∴2x＋＝－，即x＝－.………………………………………………………………(6分) 634πππ (2)－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ (k∈Z)， 262ππ 即－＋kπ≤x≤＋kπ (k∈Z)， 36 ππ －＋kπ，＋kπ? (k∈Z)．得函数单调增区间为?……………………………………(10分) 6?3? 列表： πππ2π5πx 0 π 63236y 2 3 2 0 0 2 －1 描点连线，得函数图象如图所示： …………………………………………………………………………………………(14分) 第 9 页 共 9 页