?x?2?tx2y2??1，直线l:?已知曲线C:（t为参数） 49?y?2?2t（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，学科网求PA的最大值与最小值.

（24）（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲 若a?0,b?0,且

11??ab ab（I）求a3?b3的最小值；

（II）是否存在a,b，使得2a?3b?6？并说明理由.

文科数学试题答案

一、选择题

（1）B （2）A （3）B （4）D （5）A （6）C （7）C （8）B （9）D （10）C （11）B （12）A 二、填空题

2（13）3（14）A （15）(??,8]（16）150

三、解答题 （17）解：

（I）方程x2?5x?6?0的两根为2,3，由题意得a2?2,a4?3. 设数列?an?的公差为d，则a4?a2?2d,故d?所以?an?的通项公式为an?（II）设?13,从而a1?, 221n?1??6分 2ann?2?an??n?1,则 的前n项和为由（I）知s,nnn?222??sn?34n?1n?2??...??n?1, 22232n2134n?1n?2sn?3?4?...?n?1?n?2. 22222两式相减得

1311n?2sn??(3?...?n?1)?n?2 24222311n?2??(1?n?1)?n?2. 4422n?4所以sn?2?n?1.??12分

2（18）解： （I）

（II）质量指标值的样本平均数为

x?80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08

=100.

质量指标值的样本方差为

2s2?(?20)2?0.06?（-10）?0.26+0.38+102?0.22?202?0.08

=104.

所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104. ??10分

（III）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为 0.38+0.22+0.08=0.68.

由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定. ??12分

（19）解： （I）

连接BC1，则O为B1C与BC1的交点.因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C?BC1. 又AO?平面BB1C1C，所以B1C?AO，故B1C?平面

ABO.

由于AB?平面ABO，故B1C?AB.??6分

（II） 作OD?BC，垂足为D，连接AD.作OH?AD，垂足

BC?OD，为H. 由于BC?AO，故BC?平面AOD，

所以OH?BC.又OH?AD，所以OH?平面ABC. 因为?CBB1?60?，所以?CBB1为等边三角形，又BC=1，

可得OD?113.由于AC?AB1，所以OA?B1C?.

224由OH?AD?OD?OA，且AD?OD2?OA2?217，得OH?.

144ABC

的距离为

又O为B1C的中点，所以点B1到平面

21故三棱柱7ABC?A1B1C1的距离为

（20）解：

21. 7（I）圆C的方程可化为x2?(y?4)2?16，所以圆心为C(0,4)，半径为4，

?????????设M(x,y)，则CM?(x,y?4)，MP?(2?x,2?y)，

?????????由题设知CM?MP?0，故x(2?x)?(y?4)(2?y)?0，即(x?1)2?(y?3)2?2.

由于点

P

在圆

C

的内部，所以

M

的轨迹方程是

(x?1)2?(y?3)2?2. ??6分

（II）由（1）可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，2为半径的圆.

由于|OP|?|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON?PM. 因为ON的斜率为3，所以l的斜率为?118，故l的方程为y??x?. 33316410410，，所以?POM的面积为. |PM|?555又|OP|?|OM|?22，O到l的距离为??12分 （21）解：

'（I）f(x)?a?(1?a)x?b， x由题设知f(1)?0，解得b?1. ??4分 （II）f(x)的定义域为(0,??)，由（1）知，f(x)?alnx?'1?a2x?x， 2f'(x)?a1?aa?(1?a)x?1?(x?)(x?1) xx1?a

1a?1，故当x?(1,??)时，f'(x)?0，f(x)在(1,??)单调递增，，则

21?aaa1?aa?1?所以，存在x0?1，使得f(x0)?的充要条件为f(1)?，即，

a?1a?12a?1（ⅰ）若a?解得?2?1?a?2?1.

1aa?a?1，则?1，故当x?(1,)时，f'(x)?0； 21?a1?aaaa,??)时，f'(x)?0，f(x)在(1,)单调递减，在(,??)单调递增. 当x?(1?a1?a1?aaaa)?所以，存在x0?1，使得f(x0)?的充要条件为f(，

a?11?aa?1（ii）若

aaa2aa而f(，所以不合题意. )?aln???1?a1?a2(1?a)a?1a?1（iii）若a?1，则f(1)?1?a?a?1a?1??. 22a?1综上，a的取值范围是(?2?1,2?1)?(1,??).??12分

（22）解：

（I）由题设知A，B，C，D四点共圆，所以?D??CBE， 由已知得?CBE??E，故?D??E.??5分

（II）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN?BC，故O在直线MN上.

又AD不是?O的直径，M为AD的中点，故OM?AD，即MN?AD. 所以AD?BC，故?A??CBA.

又?CBE??E，故?A??E.由（I）知，?D??E，所以?ADE为等边三角形??10分

（23）解： （I）

?x?2cos?，曲线C的参数方程为?（?为参数）

?y?3sin?，直线l的普通方程为2x?y?6?0.??5分

（II） 曲线C上任意一点p(2cos?,3sin?)到l的距离为

d?54cos??3sin??6. 5

则PA?4d25?5sin(??a)?6，其中a为锐角，且tan??.

3sin30?5当sin(???)??1时，PA取得最大值，最大值为225. 5当sin(???)?1时，PA取得最小值，最小值为（24）解： （I）由ab?25??10分 5112，得ab?2，且当a?b?2时等号成立. ??abab故a3?b3?2a3b3?42，且当a?b?2时等号成立.

所以a3?b3的最小值为42. ??5分

（II）由（I）知，2a?3b?26ab?43.

由于43?6，从而不存在a,b，使得2a?3b?6. ??10分