PB?(0,2,?(?1,1,?22)，设A1E?x?BC?y?PB得 k2222)?x?(?2,?2,0)?y?(0,2,?) kk11解得x?， y?1， ∴A1E?BC?PB

22

BC?PB?B，A1E?平面PBC ∴A1E∥平面PBC

（Ⅱ）当k?2时，由P(0,0,2)、A(2,0,0)得PA?(2,0,?2)、BC?(?2,?2,0)、PB?(0,2,?2) ??1???0?n?BC?0设平面PBC的法向量为n?(1,?,?)，则由?，得?，n?(1,?1,?1)

????0???n?PB?0cos?PA， n??PA?n?PA???n??66，∴直线PA与平面PBC所成角的大小为arcsin. 33?2222?2222OG?(?,,)， ，则??333k333k??_

(Ⅲ) 由(Ⅰ)知?PBC的重心G为???,,??OG?BC?0若O在平面PBC内的射影恰好为?PBC的重心，则有?，解得k?2 ??OG?PB?0∴当k?2时，O在平面PBC内的射影恰好为?PBC的重心.

29. 如图,侧棱垂直底面的三棱柱ABC?A1B1C1的 底面ABC位于平行四边形ACDE中,AE?2, AC?AA1?4,?E?60?,点B为DE中点. （Ⅰ）求证:平面A1BC?平面A1ABB1. （Ⅱ）设二面角A1?BC?A的大小为?,直线

A1

B1

C1

C AC与平面A1BC所成的角为?,求sin(???)的值.

E 4,?E?60B ?,点B为D DE中解:（Ⅰ）方法一、在平行四边形ACDE中, ∵AE?2,AC?点.

∴?ABE?60?,?CBD?30?,从而?ABC?90?,即AB?BC 又AA1?面ABC,BC?面ABC ∴AA1?BC,而AA1第17题图

A AB?A, ∴BC?平面A1ABB1

∵BC?平面A1BC ∴平面A1BC?平面A1ABB1 方法二、∵AE?2,AC?4,?E?60?,点B为DE中点.

222∴AB?2,BC?23,AB?BC?16?AC，∴AB?BC

又AA1?面ABC,BC?面ABC，∴AA1?BC,而AA1AB?A,∴BC?平面A1ABB1

∵BC?平面A ∴平面A平面A 1BC1BC?1ABB1（Ⅱ）方法一、由（Ⅰ）可知A1B?BC,AB?BC ∴?A1BA为二面角A1?BC?A的平面角,即?A1BA??, 在Rt?A, 1AB中,AB?2,AA1?4,AB1?25z A1 B1 A E B D C1 sin??sin?A1BA?AA125AB5,cos?? ??A1B5A1B5以A为原点,建立空间直角坐标系A?xyz如图所示,

其中A,0),C(0,4,0),AC?(0,4,0), 1(0,0,4),B(3,1C y x AB,?4),BC?(?3,3,0), 1?(3,1???n?A1B?0?3x?y?4z?0设n?(x,y,z)为平面A的一个法向量,则,∴即BC??1???n?BC?0??3x?3y?0??x?3y ???z?y令y?1,得平面A,1), 1BC的一个法向量n?(3,1则sin??又0???|AC?n|45, ??5|AC||n|4?525,

25252555∴sin(???)?sin?cos??cos?sin??????15555A1 sin(???)?1

方法二、由（Ⅰ）可知A1B?BC,AB?BC

, ∴cos??1?sin2??∴?A1BA为二面角A1?BC?A的平面角,即?A1BA??, 在Rt?A1AB中,AB?2,AA1?4,AB1?25, F A E ?, 即

C1

B1

AA25AB5,cos?? sin??sin?A1BA?1??A1B5A1B5CF, 过点A在平面A1B于F,连结1ABB1内作AF?A则由平面A1BC?平面A1BC1ABB1,且平面AC

B

D

平面A1ABB1?A1B,得AF?平面A1BC

∴?ACD为直线AC与平面A1BC所成的角,即?ACD?? 在Rt?ACF中,AF?AF525AA1?AB452?,sin??,cos??1?sin?? ?AC55A1B5252555????1, 即sin(???)?1 5555∴sin(???)?sin?cos??cos?sin??如图4，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，

AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F为CD的中点．

（Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE；

（Ⅱ）求面ACD和面BCE所成锐二面角的大小； （Ⅲ）求三棱锥A?BCE的体积． 解：方法一 （Ⅰ）∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，

∴DE⊥AF．又∵AC=AD，F为CD中点，∴AF⊥CD，因CD∩DE=D， ∴AF⊥平面CDE.

1 （Ⅱ）延长DA，EB交于点H，连结CH，因为AB∥DE，AB=DE，所以A为HD的中点．因

2为F为CD中点，所以CH∥AF，因为AF⊥平面CDE，所以CH⊥平面CDE，故∠DCE为面ACD和面BCE所成二面角的平面角，而△CDE是等腰直角三角形，则∠DCE=45°，则所求成锐二面角大小为45°．

1（Ⅲ）S?ABC??2?1?1，因DE∥AB，故点E到平面ABC的距离h等

23于点D到平面ABC的距离，也即△ABC中AC边上的高h??2?3．

213∴三棱锥体积V三棱锥A?BCE?V三棱锥E?ABC??1?3?．

33方法二 （Ⅱ）取CE的中点Q，连接FQ，因为F为CD的中点，则FQ∥DE，故DE⊥平面ACD，∴FQ⊥平面ACD，又由（Ⅰ）可知FD，FQ，FA两两垂直，以O为坐标原点，建立如图坐标系，则F（0，0，0），C（?1，0，0），A（0，0，3），B（0，1，3），E（1，2，0）．平面ACD的一个法向量为FQ?(0,1,0)，

设面BCE的法向量n?(x,y,z)，CB?(1,1,3),CE?(2,2,0)则

??x?y?3z?0,?n?CB?0,?即?取n?(1,?1,0)． ???2x?2y?0,?n?CE?0,?则cos?FQ,n??FQ?n0?1?02??．

2|FQ||n|2∴面ACD和面BCE所成锐二面角的大小为45°．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知面BCE的一个法向量为n?(1,?1,0)，

|AB?n|0?1?02． ??2|n|2AB?(0,1,0)．点A到BCE的距离d?1又BC?5，BE?5，CE?22，△BCE的面积S?BCE??22?3?6．

2三棱锥A?BCE的体积V??6?

1323． ?23