解法二：（错误！未找到引用源。）同解法一．
(错误！未找到引用源。) 由(错误！未找到引用源。) AB?平面PCB，∵PC=AC=2，又∵AB=BC，
Pz可求得BC=2．
以B为原点，如图建立坐标系． 则Ａ（０，2，０），Ｂ（0，0，0），
BDC（2，０，0），P（． 2，０，2）
CAyxAP?(2,?2,2)，BC?(2,0,0)．
则AP?BC?2?2+0+0=2．
cos?AP,BC??AP?BCAP?BC=
222?2=
1． ∴异面直线AP与BC所成的角为2?． 3（错误！未找到引用源。）设平面PAB的法向量为m= (x，y，z)．AB?(0,?2,0)，
AP?(2,?2,2)，
???y?0,?AB?m?0,??2y?0,则? 即?解得? 令z= -1, 得 m= (2，
???x??2z?2x?2y?2z?0.?AP?m?0.0，-1)．
设平面PAC的法向量为n=(x',y',z')．PC?(0,0,-2)，AC?(2,?2,0)，
''????PC?n?0,??2z?0,?z?0,' 则? 即? 解得? 令x=1, 得 n= (1，1，0)．
''''????x?y?2x?2y?0.?AC?n?0.?m,n?? cosm?n323=． ∴二面角C-PA-B的大小为arccos． ?mn333?213.如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是正方形， 侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点. （1）证明PA//平面BDE；
（2）求二面角B—DE—C的平面角的余弦值；
（3）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？
证明你的结论.
解：（1）以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐
标系，设PD=DC=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1）， B（2，2，0） PA?(2,0,?2),DE?(0,1,1),DB?(2,2,0) 设 n1?(x,y,z)是平面BDE的一个法向量，
?n1?DE?0?y?z?0则由 ?得?取y??1,得n1?(1,?1,1). ?2x?2y?0??n1?DB?0?∵PA?n1?2?2?0,?PA?n1，又PA?平面BDE,?PA//平面BDE.
（2）由（Ⅰ）知n1?(1,?1,1)是平面BDE的一个法向量，又n2?DA?(2,0,0)是平面DEC的一个法向量. 设二面角B—DE—C的平面角为?，由图可知???n1,n2?
∴cos??cos?n1,n2??n1?n223 故二面角B—DE—C的余弦值为??|n1|?|n2|3?233 3（3）∵PB?(2,2,?2),DE?(0,1,1) ∴PB?DE?0?2?2?0,?PB?DE.
假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设PF??PB(0???1)， 则PF?(2?,2?,?2?),DF?DP?PF?(2?,2?,2?2?)，
??由PF?DF?0得4?2?4?2?2?(2?2?)?0 ∴
即在棱PB上存在点F，PF?11?(0,1)，此时PF?PB 331PB，使得PB⊥平面DEF 314.已知几何体A—BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三
角形，正视图为直角梯形．
（1）求异面直线DE与AB所成角的余弦值； （2）求二面角A-ED-B的正弦值；
（3）求此几何体的体积V的大小.
【解】（本题15分）证明：（1）取EC的中点是F，连结BF， 则BF//DE，∴∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角． 在△BAF中，AB=42，BF=AF=25．∴cos?ABF?10． 5∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为10． 5 （2）AC⊥平面BCE，过C作CG⊥DE交DE于G，连AG．可得DE⊥平面ACG，从而AG⊥DE ∴∠AGC为二面角A-ED-B的平面角．在△ACG中，∠ACG=90°，AC=4，ＣG=
85 5∴tan?AGC?（3）V?555．∴．∴二面角A-ED-B的的正弦值为． sin?AGC?2331?SBCED?AC?16 ∴几何体的体积V为16． 3方法二：（坐标法）（1）以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．
则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，2），E（0，0，4）
cos?DE,AB???DE?(0,?4,2),AB?(?4,4,0)，∴
10． 510 5∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为（2）平面BDE的一个法向量为CA?(4,0,0)，
设平面ADE的一个法向量为n?(x,y,z)，
n?AD,n?DE,AD?(?4,4,2),DE?(0,?4,2)∴nAD?0,nDE?0
从而?4x?4y?2z?0,?4y?2z?0,令y?1，则n?(2,1,2), cos?CA,n??2 3∴二面角A-ED-B的的正弦值为（3）V?5． 31几何体的体积V为16． ?SBCED?AC?16，∴
315.如图：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，PD与平面ABCD所成角是30°，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.
（Ⅰ）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系,并说明理由；
（Ⅱ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF； （Ⅲ）当BE等于何值时，二面角P-DE-A的大小为45°.
答案：解: 解法一:（Ⅰ）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行.
∵在?PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，∴EF∥PC 又EF?平面PAC，而PC?平面PAC ∴EF∥平面PAC. ………4分 （Ⅱ）证明:?PA?平面ABCD，BE?平面ABCD,
?EB?平面PAB, ?EB?PA.又EB?AB,AB?AP?A,AB,AP?平面PAB，又AF?平面PAB，∴AF?BE.
又PA?AB?1,点F是PB的中点,?AF?PB, ……4分
又?PB?BE?B,PB,BE?平面PBE,?AF?平面PBE.
?PE?平面PBE，?AF?PE. ………8分
(Ⅲ)过A作AG?DE于G，连PG，又∵DE?PA，
则DE?平面PAG,
则?PGA是二面角P?DE?A的平面角， ∴?PGA?45，………10分
∵PD与平面ABCD所成角是30，∴?PDA?30， ∴AD?3，PA?AB?1.
???PF
ABGDEC∴AG?1，DG?2，设BE?x，则GE?x，CE?3?x， 在Rt?DCE中，
?2?x???23?x?12，
zPFA (O)By?2得BE?x?3?2. ………12分
解法二:（向量法）（Ⅰ）同解法一………………4分 （Ⅱ）建立图示空间直角坐标系，则P?0,0,1?， B?0,1,0?，F?0,,?，D设BE?x，则E?x,1,0?
??11?22??3,0,0.
?11PE?AF?(x,1,?1)?(0,,)?0 ∴AF?PE ………8分
22?????m?PD?0，得：m??1,1?x,1?，
（Ⅲ）设平面PDE的法向量为m??p,q,1?，由??????m?PE?033???而平面ADE的法向量为AP?(0,0,1),∵二面角P?DE?A的大小是45?,所以
?cos45?=
112|m?AP|?， ???，∴222|m||AP|1?x???1???13?3???得BE?x?3?2 或 BE?x?3?2（舍）. ………………12分 16.如图，在棱长都相等的四面体ABCD中，点E是棱AD的中点， (1)设侧面ABC与底面BCD所成角为α，求tanα. (2)设CE与底面BCD所成角为β，求cosβ.
(3)在直线BC上是否存在着点F，使直线AF与CE所成角为90°，
若存在，试确定F点位置；若不存在，说明理由。
C 答案：解：(1)连AF、DF，由△ABC及△BDC是正三角形，F为BC中点，得AF⊥BC，DF⊥BC，AF=DF
∴∠AFD为二面角A-BC-D的平面角
3a3a 设棱长为a，在△ABC中，AF=，DF=
2232?a2?a214? ∴tg??22 在△AFD中，cos??332?a24(2)法一：∵BC⊥面ADF，BC?面BCD
∴面ADF⊥面BCD
z 在面ADF中，过E作EG⊥DF，则EG⊥面BCD，连CG，则∠ECG=? 又AF=DF，E为AD中点，故EF⊥AD 在Rt△DEF中，EF=(3212a)?(a)2?a 222A B
D E
A E B O x C D y