设
?EM?tEF?????.?EF?(?3a,0,0)?，
EM?(?3at,0,0)?AM?AE?EM?(?3at,0,a)
?31又FD?(a,?a,?a)，FB?(0,a,?a)，
22?从而要使得：(?3at,0,a)?m(0,a,?a)?n(31a,?a,?a)成立， 22?3an??3at?2?113?需?0?ma?an，解得t? ?当EM?a时，AM//平面BDF
323??a??am?an??（Ⅲ）解法一、取EF中点G，EB中点H，连结DG，GH，DH
?DE?DF,?DG?EF?BC?平面ACFE?BC?EF
又?EF?FC，?EF?FB，又?GH//FB，?EF?GH
EFG?BE2?DE2?DB2
??DGH是二面角B?EF?D的平面角.
在?BDE中,DE?HD2a,DB?3a,BE?AE?AB?5a
AB22C??EDB?90?,?DH?552a. 又DG?a,GH?a. 22210, 10?在?DGH中，由余弦定理得cos?DGH?即二面角B?EF?D的平面角的余弦值为
10. 10z E F 解法二:由(Ⅰ)知,以点C为原点，CA,CB,CF所在直线为坐标轴, 建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),B(0,a,0)，A(3a,0,0)，
D(3a1,?a,0)，F(0,0,a)，E(3a,0,a)过D作DG?EF, D 22??C O x A B y 垂足为G. 令FG??FE??(3a,0,0)?(3?a,0,0),
CG?CF?FG?(3a?,0,a), DG?CG?CD?(3?a??11由DG?EF得,DG?EF?0,????DG?(0,a,a),即
22?1GD?(0,?a,?a)
2??????????31a,a,a) 22A
?BC?AC,AC//EF,?BC?EF,?BF?EF
E
C
?F
?二面角B?EF?D的大小就是向量GD与向量FB所夹的
角.?FB?(0,a,?a)
??B D
cos?GD,FB????GD?FBGD?FB?????1010 即二面角B?EF?D的平面角的余弦值为. 101019.如图，已知?BCD中，?BCD?90?，BC?CD?1，AB⊥平面BCD，?ADB?60?，E、
AEAF???(0???1)． ACAD（1）求证：不论?为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
（2）若平面BEF与平面BCD所成的二面角的大小为60?，求?的值。
F分别是AC、AD上的动点，且
解法一：（向量法）：
过点C作Cz//AB ∵AB⊥平面BCD
∴Cz⊥平面BCD 又在?BCD中，?BCD?90?
∴BC?CD
如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C?xyz． 又在?BCD中，?BCD?90?，BC?CD?1 ∴BD?2 又在Rt?ABD中，?ADB?60? ∴AB?6 则C(0,0,0),B(1,0,0),A(1,0,6),D(0,1,0) （1）证明：∵C(0,0,0),B(1,0,0),A(1,0,6),D(0,1,0) ∴BA?(0,0,6),CB?(1,0,0),CD?(0,1,0)
x z A E M B C F N D y ∴BA?CD?0,CB?CD?0 ∴BA?CD,CB?CD 又AB?BC?B ∴CD⊥平面ABC
AEAF???(0???1) ACAD∴不论?为何值，都有EF//CD ∴EF⊥平面ABC 又EF?平面BEF 不论?为何值，总有平面BEF⊥平面ABC
又在?ACD中，E、F分别是AC、AD上的动点， 且
（2）∵
AE??，∴AC,∵AC?(?1,0,?6)，∴AE??AC???,0,?6?，
??又∵AB?0,0,?6，?BE?AE?AB???,0,6(1??) ，
设n?(x,y,z)是平面BEF的法向量，则n?BE,n?EF又EF//CD，
?????n?CD,∵CD=(0,1,0),
∴????x?6(1??)z?0?y?0
令z??得x?6(1??),y?0 ∴n?(6(1??),0,?)，
∵ m?(0,0,1)是平面BCD的法向量，平面BEF与平面BCD所成的二面角为60?， ∴cos60??n?m|n||m|?1??1?6(1??)2??2?12∴?2?4??2?0，
∴??2?2或??2?2（不合题意，舍去），
故当平面BEF与平面BCD所成的二面角的大小为60?时??2?2．
解法二：∵
AE??，∴ AC, 设E（a,b,c）,则(a?1,b,c?6)??(?1,0,?6)，
∴a=1+?,b=0,c=6(1??)， E（1+?,0, 6(1??)）,∴BE?(??,0,6(1??))。 其余同解法一
（2）解法三：设n?(x,y,z)是平面BEF的法向量，则n?BE,n?BF，
AEAF???(0???1) ACAD
EMCECE ∴又在?BCD中，?BCD?90?，BC?CD?1 ?1?? ∴??1??ABACAC
∵
∴BD?2 又在Rt?ABD中，?ADB?60? ∴AB?6 ∴EM?6(1??) 又又
BMAE???，且BC?1 ∴BM?? ∴CM?1?? ∴E(1??,0,6(1??)) BCACCN?BC??
∴
F(1??,?,6(1??))
∴BE?(??,0,6(1??)),BF?(??,?,6(1??))
????x?6(1??)z?0∴?令z??得x?6(1??),y?0 ∴n?(6(1??),0,?) ????x??y?6(1??)z?0
其余同解法一
20.已知直三棱柱ABC?A1B1C1中,?ABC分别为?BAC?900,AB?AA1,D,E,FB1A,C1C,BC的中点． (1)求证：(2)求证：平面B1FA?DE∥平面ABC；平面AEF；
(3)求二面角B1?AE?F的大小。
解：以A为原点，以射线AB、AC、AA1分别为x、y、z的正半轴建立空间直角坐标系，由AB=AC=AA1=2,可知各点坐标分别为：
A(0,0,0,),B(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0),D(1,0,1)
（1）?DE???1,2,0?, 设点G（-1，2，0），则
为等腰直角三角形，
AG?(?1,2,0)
?DE∥AG，AG?平面ABC， DE?平面ABC?DE∥平面ABC （2）证明：
B1F???1,1,?2?,EF??1,?1,?1?,AF??1,1,0???B1F?EF?(?1)?1?1?(?1)?(?2)?(?1)?0,B1F?AF?(?1)?1?1?1?21?0?0,?B1F?EF,B1F?AF,又AFB1F?平面B1FAEF?F,?B1F?平面AEF
?平面B1FA?平面AEF
（3）由（2）可知
B1F???1,1,?2?是平面AEF的一个法向量设二面角B1?AE?F的大小为?，根据已知得?为锐角设平面AEB1的一个法向量为n??x,y,1?,??n?AE?0?AE??0,2,1?,AB1??2,0,2?且???n?AB1?0
1??2y?1?01??y?????,解得?,?n??1,?,1??22???2x?2?0??x??1?co?s?n?B1FnB1F?6,?ta?n?56???arcta5n?二面角B1?AE?F的大小为arctan5
21.已知四棱台ABCD?A中，底面ABCD是1BC11D1（如图）
正方形，且DD1?底面ABCD，AB?2A． 1B1?2DD1?2a（1）求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值；
（2）试在平面ADD1A1中确定一个点F，使得FB?平面BCC1B1； （3）求二面角F?CC1?B的余弦值（F满足（2））．
解：以D为原点，DA、DC、DD1所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0,0,0),A(2a,0,0),B1(a,a,a),D1(0,0,a),B(2a,2a,0),C(0,2a,0),C1(0,a,a) （1）
AB1?(?a,a,a),DD1?(0,0,a),
AB1?DD1a23?cosAB1,DD1)???,
223AB1?DD13aa即直线AB1与DD1所成角的余角的余弦值为（2）设F(x,0,z),3 3BB?(?a,?a,a),BC?(?2a,0,0),FB1?(a?x,a1,a?z),
2??FB1?BB1?0,??a(a?x)?a?a(a?z)?0 由FB1?平面BCC1B1得?即?
??FB1?BC?0,??2a(a?x)?0得??x?a,
?z?0,?F(a,0,0)，即F为DA的中点．
（3）由（2）知FB2为平面BCC1B1的法向量．设n?(x1,y1,z1)为平面FCC1的法向量，
CC?(0,?a,a),FC?(?a,2a,0)
令y1?1得x1?2,z1?1，
??n?CC1?0,??ay1?az1?0由?即?
?ax?2ay?01??n?FC?0,?1?n?(2,1,1),cosn,FB1?n?FB1a?a3， ??2|n||FB1|36?2a3? 3即二面角F?CC1?B的余弦值为