（III）在线段BC上是否存在点F使得PF∥面EAC？若存在，确定F的位置；若不存在，请说明理由。解：⑴证明：在正方形ABCD中，AB⊥BC 又∵PB⊥BC ∴BC⊥面P PAB ∴BC⊥PA 同理CD⊥PA ∴PA⊥面ABCD
E 1⑵在AD上取一点O使AO=AD，连接E，O，
3则EO∥PA，∴EO⊥面ABCD 过点O做
OH⊥AC交AC于H点，连接EH，则EH⊥AC， 从而∠EHO为二面角E－AC－D的平面角
在△PAD中，EO＝AP＝在△AHO中∠HAO＝45°， ∴HO＝AOsin45°=
222EO·?，∴tan∠EHO＝?22， 233HO2343A D B
C
∴二面角E－AC－D等于arctan22
⑶当F为BC中点时，PF∥面EAC，理由如下：∵AD∥2FC，∴
FSFC1PE1??，又由已知有?，SDAD2ED2∴PF∥ES ∵PF?面EAC，EC?面EAC ∴PF∥面EAC，即当F为BC中点时，PF∥面EAC 33.如图，棱柱ABCD—A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，
平面AA1C1C⊥平面ABCD，∠A1AC=60°。 （Ⅰ）证明：BD⊥AA1；
（Ⅱ）求二面角D—A1A—C的平面角的余弦值； （Ⅲ）在直线CC1上是否存在点P，使BP//平面DA1C1？
若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由。
连接BD交AC于O，则BD⊥AC，连接A1O，在△AA1O中，AA1=2，AO=1，∠A1AO=60°，
∴A1O2=AA12+AO2－2AA1·Aocos60°=3，∴AO2+A1O2=A12
∴A1O⊥AO，由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，
所以A1O⊥底面ABCD，∴以OB．OC．OA1所在直线为x轴．y轴．z轴建立如图 所示空间直角坐标系，则A（0，－1，0），B（3，0，0），C（0，1，0）， D（－3，0，0），A1（0，0，3）于BD?(?23,0,0)，AA,3)， 1?(0,1则AA1?BD?0?(?23)?1?0?3?0?0，∴BD⊥AA1… （Ⅱ）由于OB⊥平面AA1C1C，∴平面AA1C1C的法向量n1?(1,0,0)，
??n2?AA1设n2?(x,y,z)， 设n2⊥平面AA1D则???n2?AD?n1?n25?y?3z?0取n2?(1,3,?1)，?cos?n1,n2???得到?5?|n1|?|n2|??3x?y?0，
所以二面角D—A1A—C的平面角的余弦值是
5 5（Ⅲ）假设在直线CC1上存在点P，使BP//平面DA1C1，设CP??CC1,P(x,y,z)则
(x,y?1,z)??(0,1,3)，得P(0,1??,3?)BP?(?3,1??,3?)
??n3?A1C1设n3?平面DA1C1则?设n3?(x3,y3,z3)，得到
??n3?DA1??2y3?0不妨取n3?(1,0,?1)，又因为BP//平面DA1C1，则???3x3?3z3?0n3·BP?0即?3?3??0得???1，即点P在C1C的延长线上且
使C1C=CP…
34.如图，在棱长为1的正方体AC1中，E、F分别为A1D1和A1B1的中点．
（1）求异面直线AE和BF所成的角的余弦值；
（2）求平面BDD1与平面BFC1所成的锐二面角的余弦值；
（3）若点P在正方形ABCD内部或其边界上，且EP//平面BFC1，求EP的最大值、最小值．
解：（1）A(1,0,0)，E(,0,1)，B(1,1,0)，F(1,121,1) 211AE?(?,0,1)，BF?(0,?,1),cos(AE,BF)?22 （2）平面BDD1的一个法向量为MA?(,?15544?4 5121,0)，设平面BFC1的法向量为n?(x,y,z) 21?n?BF??y?z?0?x?z?2∴ ???n?BC?(x,y,z)?(?1,0,1)??x?z?0?y?2z?取z?1得平面BFC1的一个法向量n?(1,2,1)
1?13MA?n3 ∴所求的余弦值为 cos?MA,n???2??66|MA||n|262（3）设P(x,y,0)（0?x?1,0?y?1）
11EP?(x?,y,?1)，由EP?n?0得(x?)?2y?1?0
22即x??2y?3313，0?x?1,?0??2y??1??y? 2244126?|EP|?(x?)2?y2?1?(2y?1)2?y2?1?5y2?4y?2?5(y?)2? 25513233029当y?时，∴EP ?y?,?当y?时，?|EP|min??max44544535.如图，在组合体中，ABCD?A1B1C1D1是一个长方体，P?ABCD是
一个四棱锥．AB?2，BC?3，点P?平面CC1D1D，且
PPD?PC?2．
（1）证明：PD?平面PBC；
（2）若AA1?a，当a为何值时，PC//平面AB1D． （理）（3）求PA与平面ABCD所成的角的正切值；
证明：(1)因为PD?PC?2，CD?AB?2，
所以△PCD为等腰直角三角形，所以PD?PC．
DABCD1A1B1C1因为ABCD?A1B1C1D1是一个长方体，所以BC?面CC1D1D， 而P?平面CC1D1D，所以PD?面CC1D1D，
所以BC?PD．因为PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC， 由线面垂直的判定定理，可得PD?平面PBC. 解：(2)当a?2时，PC//平面AB1D.
当a?2时，四边形CC1D1D是一个正方形，所以?C1DC?450，而?PDC?450， 所以?PDC1?900，所以C1D?PD．
而PC?PD，C1D与PC在同一个平面内，所以PC//C1D． 而C1D?面AB1C1D，所以PC//面AB1C1D，所以PC//平面AB1D. (注: 文每问各占6分)
(理)(3)过P点在平面CC1D1D内作PE?CD于E，连接AE 因为面ABCD?面PCD，所以PE?面ABCD， 所以?PAE就是PA与平面ABCD所成的角． 因为PE?1，AE?10，所以tan?PAE?PE110??． AE1010所以PA与平面ABCD所成的角的正切值为
10． 10z P方法二：(1)如图建立空间直角坐标系，设棱长AA1?a， 则有D(0,0,a)，P(0,1,a?1)，B(3,2,a)，C(0,2,a)．
于是PD?(0,?1,?1)，PB?(3,1,?1)，PC?(0,1,?1)， 所以PD?PB?0，PD?PC?0．
ADBCD1C1B1y 所以PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC， 由线面垂直的判定定理，可得PD?平面PBC. (2)B1?(3,2,0)，所以DA?(3,0,0)，AB1?(0,2,?a)．
A1x ?DA?n2?3x?0?设平面AB1D的法向量为n2?(x,y,z)，则有?，
??AB1?n2?2y?az?0令z?2，可得平面AB1D的一个法向量为n2?(0,a,2).
若要使得PC//平面AB1D，则要PC?n2，即PC?n2?a?2?0，解得a?2. 所以当a?2时，PC//平面AB1D.
(3)A(3,0,a)，所以PA?(3,?1,?1)，而平面ABCD的一个法向量为n1?(0,0,1)．
所以cos?PA,n1???111?1??11． 11所以PA与平面ABCD所成的角的正弦值为
11.所以PA与平面ABCD所成的角的正切值为1110． 1036.一个四棱锥P一ABCD的正视图是边长为2的 正方形及其一条对角线，侧视图和俯视图全全等 的等腰直角三角形，直角边长为2，直观图如图。 （1）求四棱锥P一ABCD的体积： （2）求二面角C—PB—A大小；
CM?PA? M为棱PB上的点，（3）当PM长为何值时，
解（1）由二视图可知，PD?平面ABCD，
18?四棱锥P-ABCD的体积V=SABCD?PD?；
33（2）如图，以D为坐标原点，分别以DP、DC、DA所在 直线x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。设CP中
点为E，则OE?PC,OEB?C,所以OE是平面PBC的法向量；设AP中点为F，同理可知OF是平面PAB的法向量。
知OF是平面PAB的法向量OE=(1,1,0),OF=(1,0,1)， 设二面角C-PB-A的平面角为?，则|cos?|?所以 二面角C-PB-A大小为
?OE?OF1?，显然??,
2|OE|?|OF|22?； 3PMB共线，
（3）P（2，0，0），B（0，2，2），C（0，2，0），A（0，0，2），
?可设PM=k?PB=(-2k,2k,2k),k?R,CM=CP+PM=(2-2k,-2+2k,2k), 1 PA=(-2,0,2)， CM?PA,所以CM×PA=8k-4=0,?k=
2 ?PM=(-1,1,1),|PM|=3,?PM的长为3时，CM?PA
37.如图，下底面的中心，AB?kAAO分别是正四棱柱ABCD?AP、E是AB的中点，1B1C1D1上、1.
（Ⅰ）求证：A1E∥平面PBC；
（Ⅱ）当k?2时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；
A
D1 P B1 C1
1 (Ⅲ) 当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为?PBC的重心?
解法一：（Ⅰ）过P作MN∥B1C1，分别交A1B1、D1C1于M、N，则M、N分别为 A1B1、D C
D1C1的中点，连MB、NC，则四边形BCNM是平行四边形 ∵E、M分别为AB、A1B1中点，∴A1E∥MB 又MB?平面PBC，∴A1E∥平面PBC。
A E1
O B
（Ⅱ） 过A作AF⊥MB，垂足为F，连PF，∵BC⊥平面ABB1A1，AF?平面ABB1A1， ∴AF⊥BC， BC∩MB=B，∴AF⊥平面PBC，∴∠APF就是直线AP与平面PBC所成的角， 设AA1=a，则AB=2a，AF=sin∠APF=
23a，AP=2a， 3AF66?。所以，直线AP与平面PBC所成的角是arcsin。 AP33（Ⅲ）连OP、OB、OC，则OP⊥BC，由三垂线定理易得OB⊥PC，OC⊥PB，所以O在平面PBC中的射影是△PBC的垂心，又O在平面PBC中的射影是△PBC的重心，则△PBC为正三角形。即PB=PC=BC，所以k?2。
反之，当k=2时，PA=AB=PB=PC=BC，所以三棱锥O?PBC为正三棱锥，
∴O在平面PBC内的射影为?PBC的重心
解法二：以点O为原点，直线OA、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AB?22，则得A1(2,0,2222)、B(0,2,0)、C(?2,0,0) )、E(1,1,0)、P(0,0,kk22)、BC?(?2,?2,0)、 (Ⅰ)由上得A1E?(?1,1,?kA1 z D1 P B1 C1
D C