高考数学复习点拨：学习计数原理一定要用数学思想
方法作指导
学习计数原理一定要用数学思想方法作指导 山东
张振华
数学思想方法在解题中的指导作用至关重要，而且，有些问题如果没有正 确的数学思想方法作指导是很难理解的。本章蕴涵着丰富的数学思想方法， 如主元思想、对应思想、分类思想、整体思想、补集思想、数形结合思想、 模型化思想、极端思想等等，学习中要学会运用数学思想方法去思考各种问 题，形成良好的思维品质及合理的思维习惯，培养创新思维能力。 1.主元思想
主元思想，就是对题目中的特殊元素、特殊位置优先考虑安排，抓住主要 矛盾，进而达到解题目的。
例 1.安排 7 位工作人员在 5 月 1 日至 5 月 7 日值班，每人值班一天，其中 甲、乙二人不安排在 5 月 1 日和 2 日，不同的安排方法共有__________种. 解析：先考虑安排特殊元素甲、乙二人，有种排法；当特殊元素甲、乙二 人安排好后，其余 5 人有种排法。根据乘法原理共有种安排方法。 当然，此题亦可考虑用间接法解决。 2.对应思想
对应思想，就是运用集合语言，将所给题目转化为另一个与之等价的问题 进行解决。
例 2.如果从数 1 ，2 ，... ，14 中按从小到大的顺序取出，，，使同时满足- ≥ 3 与 - ≥ 3 ，那幺所有符合上述要求的不同取法共有多少种？
解析：设｛1 ，2 ，... ，14｝，｛1 ，2 ，... ，10｝，｛（，，）｜，，∈，- ≥
3 ， - ≥ 3 ｝，｛（，，）｜，，∈，＜＜｝， ：（，，）→（，，），其中， = ， = - 2 ， = - 4
易证是和之间的一个一一对应，故题目所求的取法种数恰好等于从中任意 取出三个不同数的取法种数 ，共有 120 种。 3.分类思想
分类思想，就是将问题分成几个局部的问题逐一去解决的方法策略。本章 提供了大量分类思想的实例，结合实例进行分类思想的学习，更能帮助我们 正确运用有关公式解决排列组合应用问题。
例 3.设集合Ⅰ=｛1 ，2 ，3 ，4 ，5｝，选择Ⅰ的两个非空子集Ａ和Ｂ，要 使Ｂ中最小的数大于Ａ中最大的数，则不同的选择方法共有种（ Ａ。50
Ｂ。49
Ｃ。48
）
Ｄ。47
简析 ：按Ａ中最大的数可分四类：
⑴当Ａ中最大的数为 1 时，则Ｂ为｛2 ，3 ，4 ，5｝的非空子集，有 = 15（个）；
⑵当Ａ中最大的数为 2 时，则Ｂ为｛3 ，4 ，5｝的非空子集， ⑶当Ａ中最大的数为 3 时，则Ｂ为｛4 ，5｝的非空子集，有（个）， 而这时的Ａ有（个），故共有 3×4 = 12（个）；
⑷当Ａ中最大的数为 4 时，则Ｂ为｛5｝的非空子集，只有 1 个，而这 时的Ａ有（个），故共有 1×8 = 8（个）；
综上所述，共有 15 + 14 + 12 + 8 = 49（种），选Ｂ
点评：本题的分类标准是不定因素：条件不唯一。通过本例，可要理解分 类的标准，避免”重复”、”遗漏”现象的发生噢！ 4.整体思想
有时，研究问题若能有意识地放大考察问题的”视角”，将需要解决的问题 看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构，从而使问题获解。这
就是整体思想。本章的整体思想，就是将某些有特殊要求的元素（如相邻 等）看作一个整体参与排列；或者将元素作位置对应。
例 4. 8 个女孩和 25 个男孩围成一圈，任意两个女孩之间至少站两个男孩， 那幺共有多少种不同的排列方法？（只要把圈旋转一下就重合的排法认为是 相同的）
解析：显然符合条件的圆排列数就是以某女孩打头的直排列数。现在以○ 代表女孩所站的位置，以╳代表男孩所站的位置，则在每个○后至少有两个 ╳。让每个○”吸收了”它紧后的两个╳作为一个整体，记为●。则每个○，╳ 排列对应成一个●，╳排列。 ○╳ ╳ ●
○╳ ╳
● ╳
╳ ○╳ ╳
┅ ●
┅
后一种排列的个数显然是从 16 个位置中选出 7 个位置的组合数，即种，以 上表明男、女孩的位置排列共有种方法。对每种位置排列，女孩站上去有 7！种方法（Ａ固定站首位），男孩站上去有 25！种方法，故总的排列方法数 为? 7！? 25！ = 16！? 25！／9！ 5.补集思想
某些排列组合问题，可采用先求总的排列数，再减去不符合要求的排法种 数获得解决，这就是补集思想，有时也称逆向思维。
例 5.从 0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 这 10 个数中取出 3 个 数，使其和为不小于 10 的偶数，不同的取法有多少种？
解析：从这 10 个数中取出 3 个不同的偶数的取法有种；取 1 个偶数和 2 个 不同的奇数的取法有种。从这 10 个数中取出 3 个数，使其和为小于 10 的偶 数，有 9 种不同的取法。故符合题设条件的不同取法有 + - 9 = 51 种 6.数形结合思想
数型结合是数学解题的主要思想，若能针对排列组合题目的特点作出图