第33届全国中学生物理竞赛复赛试题

一、（20分）如图，上、下两个平凸透光柱面的半径分别为R1、R2，且两柱面外切；其剖面（平面）分别平行于各自的轴线，且相互平行；各自过切点的母线相互垂直。取两柱面切点O为直角坐标系O-XYZ的原点，下侧柱面过切点O的母线为X轴，上侧柱面过切点O的母线为Y轴。一束在真空中波长为?的可见

光沿Z轴负方向傍轴入射，分别从上、下柱面反射回来的光线会发生干涉；借助于光学读数显微镜，逆着Z轴方向，可观测到原点附近上方柱面上的干涉条纹在X-Y平面的投影。R1和R2远大于傍轴光线干涉区域所对应的两柱面间最大间隙。空气折射率为n0?1.00。试推导第k级亮纹在X-Y平面的投影的曲线方程。

已知：a. 在两种均匀、各向同性的介质的分界面两侧，折射率较大（小）的介质为光密（疏）介质；光线在光密（疏）介质的表面反射时，反射波存在（不存在）半波损失。任何情形下，折射波不存在半波损失。伴随半波损失将产生大小为π的相位突变。b. sinx?x, 当x??1。 二、（20分）某秋天清晨，气温为4.0?C，一加水员到实验园区给一内径为2.00 m、高为2.00 m的圆柱形不锈钢蒸馏水罐加水。罐体导热良好。罐外有一内径为4.00 cm的透明圆柱形观察柱，底部与罐相连（连接处很短），顶部与大气相通，如图所示。加完水后，加水员在水面上覆盖一层轻质防蒸发膜（不溶于水，与罐壁无摩擦），并密闭了罐顶的加水口。此时加水员通过观察柱上的刻度看到罐内水高为1.00 m。 （1）从清晨到中午，气温缓慢升至24.0?C，问此时观察柱内

水位为多少？假设中间无人用水，水的蒸发及罐和观察柱体积随温度的变化可忽略。

（2）从密闭水罐后至中午，罐内空气对外做的功和吸收的热量分别为多少？求这个过程中罐内空气的热容量。

已知罐外气压始终为标准大气压p0?1.01?105Pa，水在4.0?C时的密度为?0?1.00?103kg?m?3，水在温度变化过程中的平均体积膨胀系数为??3.03?10?4K?1，重力加速度大小为g?9.80m?s?2，绝对零度为

?273.15?C。

三、（20分）木星是太阳系内质量最大的行星（其质量约为地球的318倍）。假设地球与木星均沿圆轨道绕太阳转动，两条轨道在同一平面内。将太阳、地球和木星都视为质点，忽略太阳系内其它星体的引力；且地球和木星之间的引力在有太阳时可忽略。已知太阳和木星质量分别为ms和mj，引力常量为G。地球和木星绕太阳运行的轨道半径分别是re和rj。假设在某个时刻，地球与太阳的连线和木星与太阳的连线之间的夹角为?。这时若太阳质量突然变为零，求

（1）此时地球相对木星的速度大小vej和地球不被木星引力俘获所需要的最小速率v0。

（2）试讨论此后地球是否会围绕木星转动，可利用（1）中结果和数据ms?2.0?1030kg、mj?1.9?1027kg、木星公转周期Tj?12 y。

四、（20分）蹦极是年轻人喜爱的运动。为研究蹦极过程，现将一长为L、质量为m、当仅受到绳本身重力时几乎不可伸长的均匀弹性绳的一端系在桥沿b，绳的另一端系一质量为M的小物块（模拟蹦极者）；假设M比

m大很多，以至于均匀弹性绳受到绳本身重力和蹦极者的重力向下拉时

会显著伸长，但仍在弹性限度内。在蹦极者从静止下落直至蹦极者到达最下端、但未向下拉紧绳之前的下落过程中，不考虑水平运动和可能的能量损失。重力加速度大小为g。

（1）求蹦极者从静止下落距离y（y?L ）时的速度和加速度的大小，蹦极者在所考虑的下落过程中的速度和加速度大小的上限。

（2）求蹦极者从静止下落距离y（y?L ）时，绳在其左端悬点b处张力的大小。 五、（20分）一种拉伸传感器的示意图如图a所示：它由一半径为r2的圆柱形塑料棒和在上面紧密缠绕N（N??1）圈的一层细绳组成；绳柔软绝缘，半径为r1，外表面均匀涂有厚度为t（t??r1??r2）、电阻率为?的石墨烯材料；传感器两端加有环形电

极（与绳保持良好接触）。未拉伸时，缠绕的绳可视为N个椭圆环挨在一起放置；该椭圆环面与圆柱形塑料棒的横截面之间的夹角为?（见图a），相邻两圈绳之间的接触电阻为Rc。现将整个传感器沿塑料棒轴向朝两端拉伸，绳间出现n个缝隙，每个缝隙中刚好有一整圈绳，这圈绳被自动调节成由一个未封闭圆环和两段短直线段（与塑料棒轴线平行）串接而成（见图b）。假设拉伸前后

1

? 、r1、r2、?、t均不变。

（1）求拉伸后传感器的伸长率?（?是传感器两电极之间距离的伸长与其原长之比）和两环形电极间电阻的变化率；

（2）在传感器两环形电极间通入大小为I的电流，求此传感器在未拉伸及拉伸后，在塑料棒轴线上离塑料棒中点O距离为D（D远大于传感器长度）的P点（图中未画出）处沿轴向的磁感应强度。

已知：长半轴和短半轴的长度分别为a和b的椭圆的周长为???3a?b?2?ab???，其中b?0。 六、（20分）光电倍增管是用来将光信号转化为电信号并加以放大的装置，其结构如图a所示：它主要由一个光阴极、n个倍增级和一个阳极构成；光阴极与第1倍增级、各相邻倍增级及第n倍增级与阳极之间均有电势差V；从光阴极逸出的电子称为光电子，其中大部分（百分比?）被收集到第1倍增级上，余下的被直接收集到阳极上；每个被收集到第i倍增级（i?1,,n）的电子在该电极上又使得?个电子（??1)逸出；第i倍增级上逸

出的电子有大部分（百分比?）被第i?1倍增级收集，其他被阳极收集；直至所有电子被阳极收集，实现信号放大。已知电子电荷量绝对值为e。

（1）求光电倍增管放大一个光电子的平均能耗，已知???1，n??1；

（2） 为使尽可能多的电子从第i倍增级直接到达第i?1倍增级而非阳极，早期的光电倍增管中，会施加垂直于电子运行轨迹所在平面（纸面）的匀强磁场。设倍增级的长度为a且相邻倍增级间的几何位置如图b所示，倍增级间电势差引起的电场很小可忽略。所施加的匀强磁场应取什么方向以及磁感应强度大小为多少时，才能使从第i倍增级垂直出射的能量为Ee的电子中直接打到第i?1倍增级的电子最多？磁感应强度大小为多少时，可以保证在第i?1倍增级上至少收集到一些从第i倍增级垂直

出射的能量为Ee的电子？

图b

七、（20分）两根质量均匀分布的杆AB 和BC，质量均为m，长均为l，A端被光滑铰接到一固定点（即AB杆可在竖直平面内绕A点无摩擦转动）。开始时C点有外力保持两杆静止，A、C在同一水平线AD上，A、B、C三点都在同一竖直平面内，?ABC?60?。某时刻撤去外力后

两杆始终在竖直平面内运动。

（1）若两杆在B点固结在一起，求

（i）初始时两杆的角加速度；

（ii）当AB杆运动到与水平线AD的夹角为?时，AB杆绕A点转动的角速度。

（2）若两杆在B点光滑铰接在一起（即BC杆可在竖直平面内绕B点无摩擦转动），求初始时两杆的角加速度以及两杆间的相互作用力。

八、（20分）质子是由更小的所谓“部分子”构成的。欧洲大型强子对撞机（LHC）是高能质子-质子对撞机，质子束内单个质子能量为E?7.0TeV（1TeV?103GeV=1012eV），两束能量相同的质子相向而行对撞碎裂，其中相撞的两个部分子a、b相互作用湮灭产生一个新粒子。设部分子a、b的动能在质子能量中所占的比值分别为xa、xb，且远大于其静能。

（1）假设两个部分子a、b对撞湮灭产生了一个静质量为ms?1.0TeV/c2的新粒子S，求xa和xb的乘积xaxb； （2）假设新粒子S产生后衰变到两个光子，在新粒子S静止的参考系中，求两光子的频率；

（3）假设新粒子S产生后在其静止坐标系中衰变到两个质量为mA?1.0GeV/c2的轻粒子A，每个轻粒子A再衰变到两个同频率的光子，求在这个坐标系中这两个光子动量之间的夹角。

已知：sin???, 当???1；普朗克常量h?6.63?10?34J?s，电子电荷量绝对值e?1.60?10?19C。

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