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《微积分》各章习题及解答

第一章 函数极限与连续

一、填空题

x2(4?3x)2? 。 2、limx??x(1?x2)3、x?0时,tanx?sinx是x的 阶无穷小。

1k4、limxsin?0成立的k为 。

x?0xx5、limearctanx? 。

x???1、已知f(sin)?1?cosx,则f(cosx)? 。

?ex?1,x?06、f(x)??在x?0处连续,则b? 。

?x?b,x?0ln(3x?1)7、lim? 。

x?06x8、设f(x)的定义域是[0,1],则f(lnx)的定义域是__________。 9、函数y?1?ln(x?2)的反函数为_________。

x?ax10、设a是非零常数,则lim()?________。

x??x?a11、已知当x?0时,(1?ax)?1与cosx?1是等价无穷小,则常数a?________。 12、函数f(x)?arcsin13、lim(x?2?x???21233x的定义域是__________。 1?xx2?2)?____________。

x?2ax)?8,则a?________。

x??x?a15、lim(n?n?1)(n?2?n)=____________。

14、设lim(n???二、选择题

1、设f(x),g(x)是[?l,l]上的偶函数,h(x)是[?l,l]上的奇函数,则 中所给的函数必为奇函数。 (A)f(x)?g(x);(B)f(x)?h(x);(C)f(x)[g(x)?h(x)];(D)f(x)g(x)h(x)。 2、?(x)?1?x,?(x)?1?3x,则当x?1时有 。 1?x(A)?是比?高阶的无穷小; (B)?是比?低阶的无穷小; (C)?与?是同阶无穷小; (D)?~?。

?1?x?1?,x?0(x??1)在

3、函数f(x)??31?x?1x?0处连续,则k? 。

?kx?0?32(A); (B); (C)1; (D)0。

234、数列极限limn[ln(n?1)?lnn]? 。

n??(A)1; (B)?1; (C)?; (D)不存在但非?。

?sinx?x?x?5、f(x)??0?1xcos?x?

x?0x?0x?0第1页

,则x?0是f(x)的 。

《微积分》各章习题及解答

(A)连续点;(B)可去间断点;(C)跳跃间断点;(D)振荡间断点。 6、以下各项中f(x)和g(x)相同的是( )

(A)f(x)?lgx,g(x)?2lgx; (B)f(x)?x,g(x)?2x2;

22(C)f(x)?3x4?x3,g(x)?x3x?1;(D)f(x)?1,g(x)?secx?tanx。

7、 limsinx= ( )

x?0|x|1x(A) 1; (B) -1; (C) 0; (D) 不存在。 8、 lim(1?x)? ( )

x?0(A) 1; (B) -1; (C) e; (D) e。 9、f(x)在x0的某一去心邻域内有界是limf(x)存在的( )

x?x0?1

(A)充分必要条件;(B) 充分条件;(C)必要条件;(D)既不充分也不必要条件. 10、 limx(x?1?x)?( )

x??21; (D) 0。 211、设{an},{bn},{cn}均为非负数列,且liman?0,limbn?1,limcn??,则必有( )

(A) 1; (B) 2; (C)

n??n??n??(A)an?bn对任意n成立; (B)bn?cn对任意n成立; (C)极限limancn不存在 ; (D)极限limbncn不存在。

n??n??1x2?1x?1e的极限( ) 12、当x?1时,函数

x?1(A)等于2; (B)等于0; (C)为?; (D)不存在但不为?。

三、计算解答 1、计算下列极限 (1)lim2sinn??1xnx2n?1; (2)limcscx?cotx ;

x?0x3x?2x?1?(3)limx(e?1); (4)lim?? ;

x??x??2x?1??1?xsinx?cosx8cos2x?2cosx?1lim(5)lim; (6);

?2cos2x?cosx?1x?0xtanxx?3?1ln(1?32?x)11??(7)lim?; (8)lim。 ?????32x?2n???1?22?3n(n?1)?arctan4?x??x2?1?1??ax?b3、试确定a,b之值,使lim???2。 x????x?1??4、利用极限存在准则求极限

1111?????23nn?1。 (1)limn??1111?????23n(2)设x1?a?0,且xn?1?axn(n?1,2,?),证明limxn存在,并求此极限值。

1?n??nx?n?x5、讨论函数f(x)?limx的连续性,若有间断点,指出其类型。

n??n?n?x6、设f(x)在[a,b]上连续,且a?f(x)?b,证明在(a,b)内至少有一点?,使f(?)??。

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《微积分》各章习题及解答

第一单元 函数极限与连续习题解答

一、填空题

1、2sinx 。 f(sin)?1?(1?2sinxx2x)?2?2sin2, 222?f(x)?2?2x2 ?f(cosx)?2?2cos2x?2sin2x。

2(4?3x)29x2?24x?16?lim?0。 2、0 。 limx??x(1?x2)x???x3?xtanx?sinxtanx(1?cosx)3、高阶 。 ?lim?lim?lim(1?cosx)?0,

x?0x?0x?0xx?tanx?sinx是x的高阶无穷小。

4、k?0 。

11?sin为有界函数,所以要使limxksin?0,只要limxk?0,即k?0。

x?0x?0xx5、 0 。 limearctanx?0 (?lime?0,arctanx?(?x???x???,))。

22x6、b?2 。 ?lim?f(x)?lim?(x?b)?b, ?lim?f(x)?lim?(e?1)?2,

x?0x?0x?0x?0xx??f(0)?b, ?b?2。

ln(3x?1)3x117、 ?lim?lim?。

x?0x?026x6x28、 1?x?e 根据题意 要求0?lnx?1,所以 1?x?e。

9、y?ex?1

?2 ?y?1?ln(x?2),?(y?1)?ln(x?2),x?2?ey?1,

?x?ey?1?2,?y?1?ln(x?2)的反函数为y?ex?1?2。

2a2a?x?a?2a)?e2a。 10、e 原式=lim(1?x??x?a11231223a11、a?? 由(1?ax)?1~ax(利用教材P58(1?x)?1ax)与cosx?1~?x,以

322121ax23(1?ax)?123及lim?lim??a?1, x?0x?01cosx?13?x223可得 a??。

21112、??x? 由反三角函数的定义域要求可得

423x11??11??1????x??1f(x) 解不等式组可得 ,的定义域为。 ??x????41?x242???x??1?1?x?02ax?ax13、0 limx???x?2?x?2?lim22(x2?2?x2?2)(x2?2?x2?2)x?2?x?222x??? x?2?x?2x?2ax3axx?a)?lim(1?),令t=14、ln2 lim(,所以x=3at?a

x??x?ax??x?a3ax?2ax11)?lim[(1?)t]3a(1?)a=e3a?8 即:lim(x??x?at??tt

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?limx2?2?(x2?2)22x????0。