《微积分》各章习题及解答
第一章 函数极限与连续
一、填空题
x2(4?3x)2? 。 2、limx??x(1?x2)3、x?0时，tanx?sinx是x的 阶无穷小。
1k4、limxsin?0成立的k为 。
x?0xx5、limearctanx? 。
x???1、已知f(sin)?1?cosx，则f(cosx)? 。
?ex?1,x?06、f(x)??在x?0处连续，则b? 。
?x?b,x?0ln(3x?1)7、lim? 。
x?06x8、设f(x)的定义域是[0,1]，则f(lnx)的定义域是__________。 9、函数y?1?ln(x?2)的反函数为_________。
x?ax10、设a是非零常数，则lim()?________。
x??x?a11、已知当x?0时，(1?ax)?1与cosx?1是等价无穷小，则常数a?________。 12、函数f(x)?arcsin13、lim(x?2?x???21233x的定义域是__________。 1?xx2?2)?____________。
x?2ax)?8，则a?________。
x??x?a15、lim(n?n?1)(n?2?n)=____________。
14、设lim(n???二、选择题
1、设f(x),g(x)是[?l,l]上的偶函数，h(x)是[?l,l]上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。 （Ａ）f(x)?g(x)；（Ｂ）f(x)?h(x)；（C）f(x)[g(x)?h(x)]；（D）f(x)g(x)h(x)。 2、?(x)?1?x，?(x)?1?3x，则当x?1时有 。 1?x（Ａ）?是比?高阶的无穷小； （Ｂ）?是比?低阶的无穷小； （C）?与?是同阶无穷小； （D）?~?。
?1?x?1?,x?0(x??1)在
3、函数f(x)??31?x?1x?0处连续，则k? 。
?kx?0?32（Ａ）； （Ｂ）； （C）1； （D）0。
234、数列极限limn[ln(n?1)?lnn]? 。
n??（Ａ）1； （Ｂ）?1； （C）?； （D）不存在但非?。
?sinx?x?x?5、f(x)??0?1xcos?x?
x?0x?0x?0第1页
，则x?0是f(x)的 。
《微积分》各章习题及解答
（Ａ）连续点；（Ｂ）可去间断点；（C）跳跃间断点；（D）振荡间断点。 6、以下各项中f(x)和g(x)相同的是（ ）
（Ａ）f(x)?lgx，g(x)?2lgx； （Ｂ）f(x)?x，g(x)?2x2；
22（C）f(x)?3x4?x3，g(x)?x3x?1；（D）f(x)?1，g(x)?secx?tanx。
7、 limsinx= （ ）
x?0|x|1x（Ａ） 1； （Ｂ） -1； （C） 0； （D） 不存在。 8、 lim(1?x)? （ ）
x?0（Ａ） 1； （Ｂ） -1； （Ｃ） e； （Ｄ） e。 9、f(x)在x0的某一去心邻域内有界是limf(x)存在的（ ）
x?x0?1
（Ａ）充分必要条件；（Ｂ） 充分条件；（C）必要条件；（D）既不充分也不必要条件. 10、 limx(x?1?x)?（ ）
x??21； （D） 0。 211、设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且liman?0,limbn?1,limcn??，则必有（ ）
（Ａ） 1； （Ｂ） 2； （C）
n??n??n??（A）an?bn对任意n成立； （B）bn?cn对任意n成立； （C）极限limancn不存在 ； （D）极限limbncn不存在。
n??n??1x2?1x?1e的极限（ ） 12、当x?1时，函数
x?1（Ａ）等于２； （Ｂ）等于０； （Ｃ）为?； （Ｄ）不存在但不为?。
三、计算解答 1、计算下列极限 （1）lim2sinn??1xnx2n?1； （2）limcscx?cotx ；
x?0x3x?2x?1?（3）limx(e?1)； （4）lim?? ；
x??x??2x?1??1?xsinx?cosx8cos2x?2cosx?1lim（5）lim； （6）；
?2cos2x?cosx?1x?0xtanxx?3?1ln(1?32?x)11??（7）lim?； （8）lim。 ?????32x?2n???1?22?3n(n?1)?arctan4?x??x2?1?1??ax?b３、试确定a,b之值，使lim???2。 x????x?1??４、利用极限存在准则求极限
1111?????23nn?1。 (1)limn??1111?????23n（2）设x1?a?0，且xn?1?axn(n?1,2,?)，证明limxn存在，并求此极限值。
1?n??nx?n?x5、讨论函数f(x)?limx的连续性，若有间断点，指出其类型。
n??n?n?x6、设f(x)在[a,b]上连续，且a?f(x)?b，证明在(a,b)内至少有一点?，使f(?)??。
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《微积分》各章习题及解答
第一单元 函数极限与连续习题解答
一、填空题
1、2sinx 。 f(sin)?1?(1?2sinxx2x)?2?2sin2， 222?f(x)?2?2x2 ?f(cosx)?2?2cos2x?2sin2x。
2(4?3x)29x2?24x?16?lim?0。 2、0 。 limx??x(1?x2)x???x3?xtanx?sinxtanx(1?cosx)3、高阶 。 ?lim?lim?lim(1?cosx)?0，
x?0x?0x?0xx?tanx?sinx是x的高阶无穷小。
4、k?0 。
11?sin为有界函数，所以要使limxksin?0，只要limxk?0，即k?0。
x?0x?0xx5、 0 。 limearctanx?0 (?lime?0,arctanx?(?x???x???,))。
22x6、b?2 。 ?lim?f(x)?lim?(x?b)?b， ?lim?f(x)?lim?(e?1)?2，
x?0x?0x?0x?0xx??f(0)?b, ?b?2。
ln(3x?1)3x117、 ?lim?lim?。
x?0x?026x6x28、 1?x?e 根据题意 要求0?lnx?1，所以 1?x?e。
9、y?ex?1
?2 ?y?1?ln(x?2),?(y?1)?ln(x?2)，x?2?ey?1，
?x?ey?1?2，?y?1?ln(x?2)的反函数为y?ex?1?2。
2a2a?x?a?2a)?e2a。 10、e 原式=lim(1?x??x?a11231223a11、a?? 由(1?ax)?1~ax（利用教材P58(1?x)?1ax）与cosx?1~?x，以
322121ax23(1?ax)?123及lim?lim??a?1， x?0x?01cosx?13?x223可得 a??。
21112、??x? 由反三角函数的定义域要求可得
423x11??11??1????x??1f(x) 解不等式组可得 ，的定义域为。 ??x????41?x242???x??1?1?x?02ax?ax13、0 limx???x?2?x?2?lim22(x2?2?x2?2)(x2?2?x2?2)x?2?x?222x??? x?2?x?2x?2ax3axx?a)?lim(1?),令t=14、ln2 lim(，所以x=3at?a
x??x?ax??x?a3ax?2ax11)?lim[(1?)t]3a(1?)a=e3a?8 即：lim(x??x?at??tt
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?limx2?2?(x2?2)22x????0。