第三章 一元一次方程
本章内容
主要内容包括：一元一次方程及其相关的概念，一元一次方程的解法，利用一元一次方程分析与解决实际问题．其课标要求是：了解一元一次方程及其相关的概念和性质，掌握一元一次方程的解法和一般步骤
重点是一元一次方程的解法和列一元一次方程解应用题． 难点是根据具体问题中的数量关系列一元一次方程．
知识网络结构图
重点题型总结及应用
题型一 灵活解一元一次方程
解一元一次方程的一般步骤是：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)把系数化为1．根据方程的特点，可灵活运用五个步骤，以简化运算． 例1 解方程：?x?(x?1)???x??．
3?22??3? 分析：此题中括号外的系数是分数，小括号外的系数也是分数，这种类型的方程解法比
较灵活，可以先去括号，再去分母；也可以先去分母，再去括号． 解法1：去中括号，得
1?1?2?1?112?1?x??x?1???x??． 363?2?去小括号，得x?131121x??x?． 6633去分母，得2x－ x ＋1=4 x－2．移项，得2 x－ x －4 x＝－2－1．
合并同类项，得－3 x＝－3．系数化为1，得x＝1．
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解法2：方程两边同乘6，得2?x?去中括号，得2x－(x－1)=4(x－
??11???(x?1)??4?x??． 22???1)．去小括号，得2x－ x＋1=4 x－2． 2移项，得2 x－ x－4 x=－2－1．合并同类项，得－3 x ＝－3．系数化为1，得x＝1． 点拨；若方程中合有多层括号，则应按照分配律先由内向外(或由外向内)去括号，再去分母，但也有时先去分母，再去括号会更简便，这取决于所给方程的特点，因此解方程时，应灵活地选取方法，尽量使过程简单，而又不产生错误. 例2 解方程：
2x?110x?1??1． 362x?1拆3 分析：本题按照常规的解方程的步骤，应先去分母，但考虑本题特点，可把
2110x?1101x?，把?x?来解． 拆成?3366621101x?=1. 解：原方程可写成x??33662511 约分，移项，得x?x?1??.
333655合并同类项，得－x＝.系数化为1，得x＝－.
66成
评注；本题采用的是“拆项法”，此方法比常规方法简便，但这种方法不是对所有的一
元一次方程都适用，需要根据方程的特点灵活应用．
题型二 方程的解的应用
例3 关于x的方程2x－4＝3m和x＋2＝m有相同的解，则m的值是( ) A．10 B．－8 C．－10 D．8 解析：解方程2x－4=3m，得x=相同，得
3m?4．解方程x＋2＝m，得x＝m－2．由两方程解23m?4＝m－2，解得m＝－8． 21(m－y)＝2y的解，那么关于x的方程2m(x－1)＝(m＋1)(3x－4 答案：B
例4 已知y＝3是6＋
4)的解是多少?
分析：把y＝3代入第一个方程，使这个方程转化为关于m的方程，解出m的值，再代入第二个方程，求出x的值．
解：y＝3代入方程6＋
11(m－y)＝2y，得6＋(m－3)＝6．解得m＝3． 445. 3将m＝3代入2m(x－1)＝(m＋1)(3x－4)，得 2×3(x－1)＝(3＋1)(3x－4)．解得x＝
方法；先利用第一个方程求出字母m的值，再把m值代入第二个方程解第二个方程，培养思考问题的综合能力．
题型三 一元一次方程的应用
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例5 一通讯员骑摩托车需要在规定时间，把文件送到某地，若每小时走 60千米，就早到12分钟；若每小时走50千米，则要迟到7分钟，求路程．
分析：如果设规定时间为x小时，当每小时走60千米时，则路程为60?x???12??千米；60?当每小时走50千米时，则路程为50?x???7??千米．这时可用路程相等列出方程． 60???12?7??=50x????． 60?60??解：设规定时间为x小时，根据题意，得60?x? 解得x?10712??10712??．所以路程为6?x?=60×??＝95千米． ??606060?60??? 答：路程为95千米．
例6 某校校长暑假将带领该校市级“三好学生”去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠”．乙旅行社说：“包括校长在内全部按全票价的六折优惠”，若全票价为240元，
(1)设学生数为x，甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙，分别计算两家旅行社的收费(建立表达式)；
(2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样?
分析：(1)问分别用含x的式子表示y甲、y乙. (2)问是当y甲=y乙时求x. 解：(1)因为全票价为240元，所以半票价为120元， 这样甲旅行社收费为y甲＝120x＋240．
又因为全票价为240元，所以全票价的60％为240×
60=144(元)， 100 这样乙旅行社收费为y乙＝144x＋144．
(2)因为甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙，
所以当两家旅行社收费一样时，即有方程120x＋240＝144x＋144． 解这个方程，得x＝4．
答：当学生数为4时，两家旅行社收费一样．
例7 某商场将彩电先按原价提高40％，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是多少元?
分析：假设每台彩电原价是x元，则提高40％后为(1＋40％) x元，八折为(1＋ 40％) x·80％元，也就是现售价为(1＋40％) x·80％元．
解：设每台彩电原价是x元，根据售价与原价之差等于270，列方程得 x (1＋40％)·80％－x＝270，解得x＝2 250． 答：每台彩电原价是2 250元．
例8 某中学租用两辆汽车(设速度相同)同时送1名带队老师及7名九年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人(不包括司机)．其中一辆小汽车在距离考场 15千米的地方出现故障，此时离截止进考场的时间还有42分，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60千米／时，人步行的速度是 5千米／时(上、下车时间忽略不计)．
(1)若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们
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