(浙江专用)2019-2020学年高中数学 课时跟踪检测(十三)数列求和 新人教A版必修5 下载本文

解析:选C ∵在等差数列{an}中,a3,a4,a8成等比数列, 52

∴(a1+3d)=(a1+2d)(a1+7d)?a1=-d,

32

∴S4=2(a1+a4)=2(a1+a1+3d)=-d,

35222

∴a1d=-d<0,dS4=-d<0,故选C.

33

1?111?1??11??11

5.求和:Sn=1+?1+?+?1++?+1++++…+?1+++…+n-1?=________.

2?248?2??24??24解析:被求和式的第k项为:

?1?k1-??111?2??1?ak=1+++…+k-1==2?1-k?. 2421?2?

1-2??1??1??1??所以Sn=2??1-?+?1-2?+…+?1-n?? ??2??2??2??

1????111

=2?n-?+2+3+…+n??

2????222

?1-1???1?2?2??

n-=2?

1??1-2?

n??1??=2?n-?1-n?? ??2??

=2n+

12

n-1-2. 12

-2

答案:2n+

n-1

6.已知等比数列{an}及等差数列{bn},其中b1=0,公差d≠0.将这两个数列的对应项相加,得一新数列1,1,2,…,则这个新数列的前10项和为________.

解析:设数列{an}的公比为q,则{an}的前三项分别为1,q,q,{bn}的前三项分别为0,

??q+d=1,

d,2d,于是?2

?q+2d=2,?

2

??q=0,

解得?

?d=1?

??q=2,

(舍去)或?

?d=-1.?

于是新数列的前10项和为(a1

10

1-2

+b1)+(a2+b2)+…+(a10+b10)=(a1+a2+…+a10)+(b1+b2+…+b10)=+10×0+

1-210×?10-1?

×(-1)=978. 2

答案:978

7.已知数列{an}的前n项和Sn,满足Sn=n(n-6),数列{bn}满足b2=3,bn+1=3bn(n∈N)

*

(1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)记数列{cn}满足cn=?

??an,n为奇数,??bn,n为偶数,

求数列{cn}的前n项和Tn.

解:(1)当n=1时,a1=S1=-5,

当n ≥2时,an=Sn-Sn-1=n-6n-(n-1)+6(n-1)=2n-7, ∵n=1也适合上式,∴an=2n-7. ∵bn+1=3bn(n∈N),且b2≠0,∴∴{bn}为等比数列,∴bn=3

n-1

*

2

2

bn+1

=3, bn,

??2n-7,n为奇数,

(2)由(1)得,cn=?n-1

??3,n为偶数.

当n为偶数时,

Tn=c1+c2+…+cn

?-5+2n-9?3?1-9?

22=+ 21-9=

nnn?n-7?3?3n-1?

2

+8

. 当n为奇数时,

Tn=c1+c2+…+cn

n-1?-5+2n-7?3?1-9?22=+ 21-9

?n+1??n-6?3?3-1?

=+.

28

n-1

n+1

??2+8,n为偶数,

综上所述:T=??n+1??n-6?3?3-1?

??2+8,n为奇数.

nn-1

n?n-7?3?3n-1?

1*

8.设数列{an}的前n项和记为Sn, 且Sn=2-an,n∈N,设函数f(x)=logx,且满足bn2=f(an)-3.

(1)求出数列{an},{bn}的通项公式;

(2)记cn=an·bn,{cn}的前n项和为Tn,求Tn的最小值. 解:(1)当n=1时,S1=2-a1得a1=1.

1

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2-an)-(2-an-1)=-an+an-1,可得an=an-1,

21

∴{an}是首项为1,公比为的等比数列,

2

?1?n-1

∴an=??.

?2?

?1?n-1

由题意得bn=f(an)-3=log1an-3=log1??-3=n-4.

?2?

22?1?n-1

(2)由(1)得cn=(n-4)??.

?2?

1

法一:∵c1=-3<0,c2=-1<0,c3=-<0,c4=0,

4当n≥5时,cn>0.

17

∴{cn}的前n项和Tn的最小值为T3=T4=-.

4

?1?0?1?1?1?2?1?n-1

法二:Tn=-3×??-2×??-1×??+…+(n-4)×??,

?2??2??2??2?

1?1?1?1?2?1?n-1?1?n∴Tn=-3×??-2×??-…+(n-5)×??+(n-4)×??, 2?2??2??2??2?1?1?1?1?2?1?n-1?1?n∴Tn=-3+??+??+…+??-(n-4)×?? 2?2??2??2??2?1??1?n-1?1-????2??2???1?n=-3+-(n-4)×??

1?2?1-2=-2-

n-2

2

n. .

∴Tn=-4-n-2

2

n-1∵Tn+1-Tn=?-4-

??

n-1??n-2?n-3n?-?-4-n-1?=n,

2?

?

2

?

2

当n≤2时,Tn+1Tn. 17

∴{cn}的前n项和Tn的是小值为T3=T4=-.

4