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第五章矩阵分析

本章将介绍矩阵微积分的一些内容.包括向量与矩阵序列的收敛性、矩阵的三种导数和矩阵微分与积分的概念，简要介绍向量与矩阵范数的有关知识.

§5.1 向量与矩阵的范数

从计算数学的角度看，在研究计算方法的收敛性和稳定性问题时，范数起到了十分重要的作用.

一、向量的范数

定义1 设V是数域F上n维（数组）向量全体的集合，x是定义在V上的一个实值函数，如果该函数关系还满足如下条件：

1）非负性对V中任何向量x，恒有x?0，并且仅当x?0时，才有

x=0；

2）齐次性对V中任意向量x及F中任意常数k，有kx?kx; 3）三角不等式对任意x,y?V，有

x?y?x?y，

则称此函数x（有时为强调函数关系而表示为?）为V上的一种向量范数.

例1 对Cn中向量x??x1,x2,?,xn?T，定义

x2?x1?x2???xn222＝xHx，

则x2为Cn上的一种向量范数[xi表示复数xi的模].

证首先，x2是Cn上的实值函数，并且满足 1）非负性当x?0时，x?0；当x?0时，x?0；

2）齐次性对任意k?C及x?Cn，有

kx2?kx1?kx2???|kxn|2?|k|||x||2；

223）三角不等式对任意复向量x?(x1,x2,?,xn)T,y?(y1,y2,?,yn)T，有

222||x?y||22?|x1?y1|?|x2?y2|???(xn?yn)

?(x1?y1)2?(x2?y2)2???(xn?yn)2

??|xi|?2?|xi||yi|??|yi|2（由Cauchy-ВуНЯКОВСКИЙ不

2i?1i?1i?1nnn等式）

2?||x||22?2||x||2||y||2?||y||22?(||x||2?||y||2),因此 ||x?y||2?||x||2?||y||2

所以 ||x||2确为Cn上的一种向量范数例2 对Cn[或Rn]上向量x?(x1,x2,?,xn)T定义 ||x||1?|x1|?|x2|???|xn|， x??maxxi，

1?i?n则||x||1及x?都是Cn[或Rn]上的向量范数，分别称为1-范数和??范数. 证仅对后者进行证明. 1）非负性当x?0时，x??maxxi?0，又显然有0??0；

i2）齐次性对任意向量x??x1,x2,?,xn?T及复数k， kx??makxxi?kiimxia?xkx?

;3）三角不等式对任意向量x?(x1,x2,?,xn)T,y?(y1,y2,?,yn)T,

x?y??maxxi?yi?max?xi?yi?

iiii ?maxxi?maxyi =x综上可知x?确为向量范数.

上两例中的x1,x2,x?是常用的三种向量范数.

一般地，对于任何不小于1的正数p，向量x??x1,x2,?,xn?T的函数

??y?.

xp?p????xi? ?i?1?n1p也构成向量范数，称为向量的p?范数.

注（1）当p?1时，xp?x1;

（2）当p?2时，x2为2-范数，它是酉空间范数；当xi为实数时，

x2?(?xi)为欧氏空间范数；

i?1n122由p?范数的存在，可知向量的范数有无穷多种，而且，向量的范数并不仅限于p?范数.在验证向量的范数定义中，三角不等式的过程中常涉及到两个著名的不等式，即：

1、H?lder不等式设正实数p,q满足

nn1p11??1,则对任意的x,y?Cn,有 pqn1qq

?xyii?1i?(?xi)(?yi)

i?1i?1p2、Minkowski不等式对任意实数p?1,及x,y?Cn,有