【例题8】如图所示，在A，B两点处放有电量分别为+q,-q的点电荷，AB间距离为2R，现将另一正试验点电荷q0从O点经过半圆弧移到C
解:
UO?qq1(?)?0 4π?0RRUO?qq1q(?)?? 4π?03RR6π?0R∴ A?q0(UO?UC)?qoq
6π?0R【例题9】如图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为?的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R．试求环中心O
解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，AB和CD段电荷在O点产生的场强互相抵消，取dl?Rd?
?则dq??Rd?产生O点dE如图，由于对称性，O点场强沿y轴负方向
E??dEy??2???Rd?cos?
?4π?R202????［sin(?)?sin］
224π?0R??
2π?0R?(2) AB电荷在O点产生电势，以U??0
U1??AB2R?dx?dx????ln2
4π?0xR4π?0x4π?0同理CD产生 U2??ln2 4π?0半圆环产生 U3?πR???
4π?0R4?0第十一章 恒定磁场（非保守力场）
6
重点：任意形状载流导线磁感应强度、对称性磁场的磁感应强度，安培力，磁场的高斯定理和安培环路定理。 主要公式：
????0Idl?er1．毕奥-萨伐尔定律表达式：dB? 24?r1）有限长载流直导线，垂直距离r处磁感应强度：B??0I(cos?1?cos?2) 4?a（其中?1和?2分别是起点及终点的电流方向与到场点连线方向之间的夹角。） 2）无限长载流直导线，垂直距离r处磁感应强度：B??0I 2?a?0I 4?a3）半无限长载流直导线，过端点垂线上且垂直距离r处磁感应强度：B?反向延长线上：B?0 4）圆形载流线圈，半径为R，在圆心O处：B0??0I2R 5）半圆形载流线圈，半径为R，在圆心O处：B0??0I4R 6）圆弧形载流导线，圆心角为?(弧度制)，半径为R，在圆心O处：B0?（?用弧度代入）
?0I? 4?R?????2．安培力：F??Idl?B（方向沿Idl?B方向，或用左手定则判定）
l???3．洛伦兹力： F?qv?B（磁场对运动电荷的作用力）
4．磁场高斯定理：
??表达式：?m??B?dS?0（无源场）
s物理意义：表明稳恒磁场中，通过任意闭合曲面的磁通量（磁场强度沿任意闭合曲面的面积分）等于0。
??5．磁场安培环路定理：?B?dl??0?I（有旋场）
l??表达式：?B?dl??0?I l物理意义：表明稳恒磁场中，磁感应强度B沿任意闭合路径的线积分，等于该路径内包围的
7
电流代数和的?0倍。?0称真空磁导率
?【例题1】 如图所示，AB、CD为长直导线，BC为圆心在O点的一段圆弧形导线，其半
径为R．若通以电流I，求O点的磁感应强度．
解： O点磁场由AB、BC、CD三部分电流产生．其中：
??AB 产生 B1?0
CD 产生B2??0I12R，方向垂直向里
CD 段产生 B3??0I?I3(sin90??sin60?)?0(1?)，方向?向里 R2?R24?2∴B0?B1?B2?B3??0I3?(1??)，方向?向里． 2?R26【例题2】在真空中，有两根互相平行的无限长直导线L1和L2，相距0.1m，通有方向相反的电流，I1=20A,I2=10A，如题9-8图所示．A，B两点与导线在同一平面内．这两点与导线L2的距离均为5.0cm．试求A，B两点处的磁感应强度，以及磁感应强度为零的点的位
?解：如图所示,BA方向垂直纸面向里。
BA???0I12?(0.1?0.05)??0I2?1.2?10?4T
2??0.05(2)设B?0在L2外侧距离L2为r处 则
?0I2?(r?0.1)??I2?0 2?r解得 r?0.1 m
8
【例题3】如图所示，两根导线沿半径方向引向铁环上的A，B两点，并在很远处与电源相连．已知圆环的粗细均匀，求环中心O的磁感应强度．
解：圆心O点磁场由直电流A?和B?及两段圆弧上电流I1与I2所产生，但A?和B?在O点产生的磁场为零。且
I1电阻R2?. ??I2电阻R12????I1产生B1方向?纸面向外
B1??0I1(2???)，
2R2???I? I2产生B2方向?纸面向里 B2?022R2?∴
B1I1(2???)??1 B2I2????有 B0?B1?B2?0
【例题4】 两平行长直导线相距d=40cm，每根导线载有电流I1=I2=20A，如题9-12图所示．求：(1)两导线所在平面内与该两导线等距的一点A(2)通过图中斜线所示面积的磁通量．(r1=r3=10cm,
解： (1) BA?
l=25cm)
?0I1d2?()2??0I2d2?()2?4?10?5 T
(2)
?纸面向外。
dS?ldr
r1?r2???r1?1I1?0I1?Il?Il1?Il[?]ldr?01ln3?02ln?1ln3?2.2?10?6（Wb） 2?r2?(d?r)2?2?3?
【例题5】 一根很长的铜导线载有电流10A，设电流均匀分布.在导线内部作一平面S，如图所示．试计算通过S平面的磁通量(沿导线长度方向取长为1m的一段作计算)．铜的磁导率
???0.
解：由安培环路定律求距圆导线轴为r处的磁感应强度：
??B?dl??0?I
l 9
Ir2B2?r??02
R∴ B??0Ir 22?R??R?Ir?0I0dr??10?6 （Wb） 磁通量 ?m??B?dS??2(s)02?R4?【例题6】设图中两导线中的电流均为8A，对图示的三条闭合曲线a,b,c，分别写出安培
环路定理等式右边电流的代数和．并讨论：
?(1)在各条闭合曲线上，各点的磁感应强度B的大小是否相等?
(2)在闭合曲线c上各点的B是否为零?为什么?
???解： ?B?dl?8?0
a?ba??B?dl?8?0
c??B??dl?0
?(1)在各条闭合曲线上，各点B的大小不相等．
???(2)在闭合曲线C上各点B不为零．只是B的环路积分为零而非每点B?0．
题6图题7图
【例题7】图中所示是一根很长的长直圆管形导体的横截面，内、外半径分别为a,b，导体内载有沿轴线方向的电流I，且I均匀地分布在管的横截面上．设导体的磁导率??试证明导体内部各点(a?r?b) 的磁感应强度的大小由下式给出：
?0，
r2?a2 B? 22r2?(b?a)?0I解：取闭合回路l?2?r (a?r?b)
??则 ?B?dl?B2?r
l 10