第十二讲 求图形面积的几种常用方法

第十二讲 求图形面积的几种常用方法

在组合图形中，求阴影部分的面积的常用方法是：割补法、加减法、旋转法、构造法、等积的变换，抓不变量、等分、一半的应用、代换、比例等。

A、割补法：对于一些求不在一起的几块阴影面积的和，往往需要把它们通过剪割、拼补在一起，才便于计算，在剪割、拼补过程中，一定要注意割下来的图形和补上去的图形的形状、大小必须完全一样。

【例1】如图，每个小圆的半径是2厘米，求阴影部分的面积是多少平方厘米？

【分析与解】如图，通过剪割、拼补，阴影部分的面积面积减去正方形的面积，则阴影部分面积为：S×4÷2×4=50.24－32=18.24(平方厘米)

【例2】右图中三个圆的半径都是4厘米，三个圆两心。求阴影部分的面积是多少平方厘米？

【分析与解】如图，三个阴影部分的面积都相等，只中一个面积即可，但非常困难。这时我们可以考虑采用割同时利用对称性，将其个半圆形，则阴影部分的面积=3。2=25。12（平方厘米）

B、加减法：注意观察，所求阴影部分的面积看是由哪几个图形相加，再减去哪个图形变可以得到。我们把这种通过加、减就能求出它的面积的方法，我们的把它称为“加减法”。

【例3】如图，正方形的边长为4厘米，求阴影部分的面积是多少？

【分析与解】如图，显然阴影部分的面积=扇形的面积 －面积，而空白c的面积=正方形的面积－扇形的面积，即 S阴影=S扇－（S正－S扇）= S扇－S正＋S扇= S扇＋S扇－S正

即S

扇＋

阴影=S圆－S

就变成了圆的

正方形=π×42－4

两交于圆

需要求出其补的方法，14×4×4÷

空白c的

S扇比S正的面积多了b那部分的面积，即b= [(b＋c)＋(b＋a)]－(a ＋b＋c)阴影部分的面积，S阴=π×42÷4×2－4×4=25.12－16=9.12(平方厘米)。

【例4】如图，长方形的长为12厘米，宽为8厘米，求阴影部分的面积【分析与解】如图，S阴影= S大扇－Sa= S大扇－(S长－S小扇) = S大扇＋S

b 122÷4＋π×82÷4－12×8=163.28－96=67.28（平方厘米）

C、旋转法：在求一些面积时，有时需要把某个图形进行一定方向的旋转，使之拼在一起，变成另一个比较方便求的图形。 A D 【例5】如图，梯形ABCD的上底是3厘米，下底是5厘米，高是

E 4厘米，E是梯形的中点。求阴影部分的面积是多少？

B C A D B E B C 60

是多少？ a

小扇－S长=π×

第十二讲 求图形面积的几种常用方法

【分析与解】如图，由于E是梯形的中点，若以E为圆心，将三角形BEC绕反时针方向放置，使C点与D点重合，显然可得，阴影部分的面积 与三角形ABE的面积相等，所以阴影部分的面积=梯形面积的一半=（3＋4）×4÷2÷2=8（平方厘米）。

D、等分法：就是将整个图形，平均分成若干份，再看所求的图形的面积占多少份，从而求得阴影部分的面积。

【例6】将三角形ABC的三条边分别向外延长一倍，得到一个大的六边形，已知三角形ABC的面积是6平方厘米，求大六边形的面积。

【分析与解】要求六边形的面积，似乎很困难，但通过

B C的三条边对六边形进行等分，就很容易得出，六边形面积的13倍，故所求面积为：6×13=78（平方厘米）

【例7】如图，在正方形中，放置了两个小正方形，大正方形的面积是180平方厘米，求甲乙两个小正方形有面积各是多少？

1

【分析与解】经过等分，可以得到，甲的面积占正方形面积的一半的 ，即甲的面积为180

24

÷2÷2=45（平方厘米）；乙的面积占正方形面积的一半的 ，即乙的面积=180÷2÷9×4=40（平方

9厘米）。

E、抓不变量：若甲比乙的面积大a，则甲和乙同时加上或减去相同的数，它们的大小不变，而图形发生变化，再通过变化后的图形进行求解，就可以使问题得到简便；若两个面积相等的图形，同时加上或差动相同的面积，则剩下的面积仍然相等。

【例8】如图，已知半圆的AB=20（厘米），阴影①比阴影②面积大57平方厘米，求直角三角形的高BC的长？

② ① 【分析与解】根据条件，可以求得半圆的面积为：3.14×10×10÷2=157（平方厘米），又“阴影①比阴影②面积大57平方厘米”，若阴影①和阴影②都加上空白部分，则半圆的面积比三角形的面积大57平方厘米，因此可求得三角形面积是157－57=100（平方厘米），高BC为：100×2÷20=10（厘米）

F、“一半”的应用：在正方形、长方形、平行四边形中，以其中一条边为底，在它的对边上任意取一点，所得的三角形的面积等于整个面积的一半。

【例9】一个长方形长边为12厘米，宽AB=8厘米，E是BC上一点，AE长10厘米，AE和DF互相垂直，DF长是多少厘米？ A D

【分析与解】如图，如果连接DE，则可得三角形ADE的面积是半，由“AE和DF互相垂直”，可知DF是三角形ADE的高，则DF=1210=9.6(厘米)

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A C 三角形的顶点A、B、的面积是三角形

F B C 长方形面积的一×8÷2×2÷

E 第十二讲 求图形面积的几种常用方法

【例10】如图，在长方形中，四条直线把长方形分成了八部分，的面积分别是17、45、34平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘

【分析与解】首先可得，两个大三角形的面积都是长方形面积的

a 17 45

b c 34 已知其中的三部分米？

一半，所剩下的部

分也是长方形的一半，为了能比较清楚的表示它们之间的关系，不妨用字母a、b、c来表示其余部分的面积。显然有a＋b＋c=a＋17＋45＋c＋34，所以阴影部分的面积b=17＋45＋34=96（平方厘米）

【另解】也可根据覆盖原理，当覆盖部分面积之和等于总面积时，必有重叠面积等于外露面积。b是重叠面积，17、45、34都是外露面积，所以有b=17＋45＋34=96（平方厘米）

G、等积变换：根据图形的特点，由面积与面积之间的相等关系，进行一些转化，从而使问题解决得到简便。 【例11】如图，由大、小两个正方形组成的图形中，小正方形的边长是6厘米，求图中阴影部分的面积是多少平方厘米？

D

【分析与解】根据已知条件，要求阴影部分的面积是比较难的。但

C 是，如果我们连接BD，再仔细观察三角形ACD与三角形ABC，不出它们都是以小正方形的对角线AC为底，以梯形ABDC的高为高，

A

B

难得所以

三角形ACD的面积=三角形ABC的面积=小正方形面积的一半，所以阴影部分的面积=6×6÷2=18（平方厘米）。

2

【例12】三角形ABC的面积为60平方厘米，AE=ED，BD= BC，求阴影部分的面积是多少平方厘米？

3【分析与解】BC看成3份，DC就是1份，由“AE=ED”可得ABE的面积=三角形BDE的面积。又以BD为底的三角形在图上

B BDE和三角形BDF，所以需要连接的线有EC或DF，如果连接

A E 三角形

F 有三角形

D

C

EC，则会

发现三角形AEF与三角形BED的联系不大；如果连接DF，则有三角形AEF与三角形EFD的面积相等，阴影部分的面积变变成为三角形BFD的面积。这时我们把三角形FDC的面积看作1份，三角形BDF的面积就是2份，三角形ABF的面积=三角形BDF的面积，所以三角形ABF的面积也为2份，三角形ABC的面积就被平分成了1＋2＋2=5（份），阴影部分的面积为：60÷5×2=24（平方厘米）。

H、构造法：就是根据已知数据的特殊性，构造出一个我们比较熟悉的图形来进行解答。这种方法在以后的学习中应用得更加广泛，在这里我们主要讲如何将直角三角形构造成正方形来计算的题型。

【例13】一个等腰直角三角形的斜边长6厘米，求它的面积？

【分析与解】如果我们用四个同样的等腰直角三角形就可以构造成

6 6 6 一个正方直角三角形

形，这个正方形的边长就是这个三角形的斜边长度，面积是这个三角形的4倍。所求的面积是6×6÷4=9（平方厘米）。

【例14】一个直角三角形的斜边长10厘米，两直角边相差6厘米，求它的面积？

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