截长补短法

截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。 截长补短法有多种方法。

截长法：

（1）过某一点作长边的垂线

（2）在长边上截取一条与某一短

边相同的线段，再证剩下的线段

与另一短边相等。……

补短法

（1）延长短边。

（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。……

例：

CFDEHGPBA

在正方形ABCD中，DE=DF，DG?CE，交CA于G，GH?AF，交

AD于P，交CE延长线于H，请问

三条粗线DG，GH，CH的数量关系

方法一（好想不好证）

CFDEHGPBA

方法二（好证不好想）

CFDEHGPBMA

例题不详解。

（第2页题目答案见第3、4页）

ABFDCE

（1）正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，?EAF=45o。 求证：EF=DE+BF

（1）变形a

ABEDCF

正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，?EAF=45o。 请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？

（1）变形b

FABDCE

正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，?EAF=45o。

请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？

（1）变形c

AFEBjCD

正三角形ABC中，E在AB上，F在AC上?EDF=45o。DB=DC，?BDC=120o。请问现在EF、BE、CF又有什么数量关系？

（1）变形d

ABFDCE

正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，?EAD=15o，?FAB=30o。AD=3

求?AEF的面积

（1）解：（简单思路）

ABFGDCE

延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。 由四边形ABCD是正方形得

?ADG=?ABF=90o AD=AB 又DG=BF

所以?ADG??ABF（SAS） ?GAD=?FAB AG=AF

由四边形ABCD是正方形得

?DAB=90o=?DAF+?FAB =?DAF+?GAD=?GAF

所以?GAE=?GAF-?EAF =90o-45o=45o

?GAE=?FAE=45o 又AG=AF AE=AE

所以?EAG??EAF（SAS） EF=GE=GD+DE=BF+DE

变形a解：（简单思路）

ABGEDCF

EF= BF-DE

在BC上截取BG，使得BG=DF，连接AG。

由四边形ABCD是正方形得

?ADE=?ABG=90o

AD=AB 又DE=BG

所以?ADE??ABG（SAS） ?EAD=?GAB AE=AG

由四边形ABCD是正方形得

?DAB=90o=?DAG+?GAB =?DAG+?EAD=?GAE 所以?GAF=?GAE-?EAF =90o-45o=45o

?GAF=?EAF=45o 又AG=AE AF=AF

所以?EAF??GAF（SAS） EF=GF=BF-BG=BF-DE

变形b解：（简单思路）

FABDCEG

EF=DE-BF

在DC上截取DG，使得DG=BF，连接AG。 由四边形ABCD是正方形得

?ADG=?ABF=90o AD=AB 又DG=BF

所以?ADG??ABF（SAS） ?GAD=?FAB AG=AF

由四边形ABCD是正方形得