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数学建模协会寒假作业答案
【作业一】
某市有甲、乙、丙、丁四个居民区，自来水由A、B、C三个水库供应。四个区每天必须得到保证的基本生活用水分别为30，70，10，10千吨，但由于水源紧张，三个水库每天最多只能分别供应50，60，50千吨自来水。由于地理位置的差别，自来水公司从各水库向各区送水所需付出的引水管理费不同(见表1-1，其中C水库与丁区之间没有输水管道)，其他管理费用都是450元／千吨。根据公司规定，各区用户按照统一标准900元／千吨收费。此外，四个区都向公司申请了额外用水量，分别为每天50，70，20，40千吨。 问题一：该公司应如何分配供水量，才能获利最多?
表1-1 引水费用表 引水管理费·(元／千甲 乙 丙 丁 吨)-1 A 160 130 220 170 B 140 130 190 150 C 190 200 230 / 问题二：为了增加供水量，自来水公司正在考虑进行水库改造，使三个水库每天的最大供水量都提高一倍，问那时供水方案应如何改变?公司利润可增加到多少? （灵敏度分析） 【答案】
分配供水量就是安排从三个水库向四个区送水的方案，目标是获利最多。而从题目给出的数据看，A、B、C三个水库的供水量160千吨，不超过四个区的基本生活用水量与额外用水量之和300千吨，因而总能全部卖出并获利，于是自来水公司每天的总收人是900×(50+603-50)=144000元，与送水方案无关。同样，公司每天的其他管理费用为450×(50+60+50)=72000元，也与送水方案无关。所以，要使利润最大，只需使引水管理费最小即可。另外，送水方案自然要受三个水库的供应量和四个区的需求量的限制。
很明显，决策变量为A、B、C三个水库(i?1,2,3)分别向甲、乙、丙、丁四个区(j?1,2,3,4)的供水量。设水库i向j区的日供水量为xij。由于C水库与丁区之间没有输水管道，即x34?0，因此只有11个决策变量。由以上分析，问题的目标可以从获利最多转化为引水费用最少，于是有：
min?160x11?130x12?220x13?170x14?140x21?130x22
约束条件有两类：一类是水库的供应量限制，另一类是各区的需求量限制。
30?x11?x21?x31?80?190x23?150x24?190x31?200x32?230x33x11?x12?x13?x14?50x21?x22?x23?x24?60x31?x32?x33?5070?x12?x22?x32?14010?x13?x23?x33?30 10?x14?x24?50LINGO线性规划源程序如下所示：
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Model：
min=160*x11+130*x12+220*x13+170*x14+140*x21+130*x22+190*x23+150*x24
+190*x31+200*x32+230*x33；
x11+x12+x13+x14=50;x21+x22+x23+x24=60;x31+x32+x33=50 x11+x2l+x31>=30；x12+x22+x32>=70；x13+x14+x24>=10； x14+x24>=10;x11+x21+x3l<=80；x12+x22+x32<=140 x13+x23+x33<=30：x14+x24<=50： 其中第二行为目标函数，首先用max=或者min=声明求解的目标函数最大化或者最小化，然后键入目标函数。与LINDO语法不同，在LINGO的语法操作中有乘号，一定要乘号，末尾结束出现分号。而且数值不能出现在左边，键入的表达式应该为最简表达式。
按住Ctrl+S运行，得到运行结果如下： Global optimal solution found。
Objective value： 24400.00 Total solver iterations： 8
LINGO得到的结果与LINDO得到的结果类似，但是LINGO不支持灵敏度分析。上述结果显示：通过2次迭代可以得到全局最优值24400。工厂A向乙地区供应50千吨自来水；工厂B向乙提供50千吨自来水，向丁提供10千吨自来水；工厂C向甲地区提供40千吨自来水，向丙地区提供10千吨自来水。结果后一部分为自来水供应的影子价格分析。
需要注意的是：LINDO和LINGO在求解规划问题时，可能存在由多个最优决策都能得到最优值的情况，但是软件只会显示其中一种。LINDO公司已经将LINDO软件从其产品目录中删除，这意味着以后不会再有LINDO软件的新版本了，而LINGO还在不断地更新。从上面的编程过程中，大家可以发现一个问题：当决策变量或者约束很多时，一条一条输入约束将是一件非常麻烦的事情。LINGO语言又称为建模化语言，其优势在于它能够支持数学语言的输入，尤其是能够提供集合支持，给编程带来了极大的便利。以本题为例，使用建模化语言编程代码如下所示。
LINGO建模化语言解决线性规划问题源代码如下
model：
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sets：
chandi／1..3／：a； yonghu／1..4／：b，d；
routes(ehandi，yonghu)：C,x； endsets data：
a=50，60，50； b=30，70，10，10； d=80，140，30，50； c=160，130，220，170 140,130，190，150，
190，200，230，99999999； enddata
min=@sum(routes：c*x)；
@for(chandi(i)：@sum(yonghu(j)：x(i，j))=a(i))； @for(yonghu(j)：@sum(chandi(i)：x(i，j))<=d(j))； @for(yonghu(j)：@sum(chandi(i)：x(i，j))>=b(j))； End
与以前的LINDO、LINGO语法不同，程序首先定义了集合，以sets开始，定义了三种属性的集合：n为1×3的向量，b和d为l×4的向量，c和z为3×4的矩阵，以end-sets结束。然后对定义的集合进行数据初始化，以data开始：分别对a，b，c，d进行初使化。其中由于自来水厂C不能给用户丁供水，因此可以定义一个非常大的数，代表非常大的代价，以enddata结束。接下去的就是目标函数和约束条件，在目标函数中使用了@sum求和函数，在约束中使用了@for循环函数。可见，如果决策变量或者约束很多，也可以不用一条一条输入了，只需要一条循环便可以解决。得到结果。
由结果显示：通过8次迭代可以得到全局最优值24400。z就是所需的决策变量矩阵，工厂A向乙地区供应50千吨自来水；工厂B向乙提供50千吨自来水，向丁提供10千吨自来水；工厂C向甲地区提供40千吨自来水，向丙地区提供10千吨自来水。结构后一部分为自来水供应的影子价格分析，与以前得到的结果相同。
问题二是关于灵敏度分析，具体可参见优化问题课件，在此就不再赘述。 ——摘自邬学军，周凯，宋军全编著,数学建模竞赛辅导教程,浙江大学出版社,2009。08,第84页
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【作业二】
某公司出口换汇成本分析
对经营同一类产品出口业务的公司进行抽样调查, 被调查的13家公司,其出口换汇成本与商品流转费用率资料如下表。设出口换汇成本为Y , 商品流转费用率为x。 出口换汇成本商品流转出口换汇成本商品流转公司 公司 人民币/美元 费用率（%） 人民币/美元 费用率（%） 1 1.40 4.20 8 1.60 5.50 2 1.20 5.30 9 2.00 4.10 3 1.00 7.10 10 1.00 5.00 4 1.90 3.70 11 1.60 4.00 5 1.30 6.20 12 1.80 3.40 6 2.40 3.50 13 1.40 6.90 7 1.40 4.80 (1)求变量Y关于x的线性回归方程。 (2)求?的无偏估计。
(3) 并估计某家公司商品流转费用率是6.5%的出口换汇成本。 【答案】
令商品流转费用率为试验指标(因变量)y，令出口换汇成本为影响因变量的
?，用??bx因素即自变量x，然后用回归拟合建立起二者之间的关系，且令y?a回归模型解该方程的具体程序如下：
x=[1.40,1.20,1.00,1.90,1.30,2.40,1.40,1.60,2.00,1.00,1.60,1.80,1.40]; y=[4.20,5.30,7.10,3.70,6.20,3.50,4.80,5.50,4.10,5.00,4.00,3.40,6.90]; X=[ones(size(x))',x']; %执行回归命令
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y',X,0.05) rcoplot(r,rint) %画出残差及它们的置信区间的图形
2
问题一
???2.1667 ??8.2333,b参数估计：a??8.2333?2.1677x 变量y关于x的线性回归方程：y问题二
?2的无偏估计体现的是回归方程的优化程度，因此：
2F?10.8168,R和F都相对较小，说明回归直线对样本数据点检验：R2=0.4958，的拟合程度低；
问题三
预测：利用回归线性方程可解得商品流转费用率为6.5%是对应的出口换汇成本的近似值，具体程序如下： y0=6.5;
x0=(8.2333-y0)/2.1667; 运行程序结果可得：
y0?0.800（人民币/美元）
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【作业三】
1、根据经验，当一种新商品投入市场后，随着人们对它的拥有量的增加，其销售量s(t)下降的速度与s(t)成正比。广告宣传可给销量添加一个增长速度，它与广告费a(t)成正比，但广告只能影响这种商品在市场上尚未饱和的部分（设饱和量为M）。建立一个销售s(t)的模型。若广告宣传只进行有限时间?，且广告费为常数a，问s(t)如何变化？ 【答案】
根据经验，当一种新商品投入市场后，随着人们对它的拥有量的增加，其销售量s(t)下降的速度与s(t)成正比。广告宣传可给销量添加一个增长速度，它与广告费a(t)成正比，但广告只能影响这种商品在市场上尚未饱和的部分（设饱和量为M）。建立一个销售s(t)的模型。若广告宣传只进行有限时间?，且广告费为常数a，问s(t)如何变化？
解：
假设在没有广告宣传的情况下，销售量s(t)的模型为：
ds(t)??k1s(t) dt在加入广告宣传后，销售量s(t)随时间变化的情况如下：
tds(t)??k1s(t)?k2a(t)(M??s(x)dx)
0dtt其中?s(x)dx为0:t时间内的总销售量。
0如果广告宣传只进行有限的时间?，则上述模型变为
t??ks(t)?ka(t)(M?ds(t)?12?0s(x)dx)t0?t0?t?? ??dtt0?t,t0?t?????k1s(t)
2、在鱼塘投放尾鱼苗，随着时间的增长，尾数将减少而每尾的质量将增加。设尾数的(相对)减少率为常数，由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与鱼的表面积成正比，由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与重量成正比。分别建立尾数和每尾鱼重的微分方程，并求解。 【答案】
在鱼塘投放尾鱼苗，随着时间的增长，尾数将减少而每尾的质量将增加。 设尾数的(相对)减少率为常数，由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与鱼的表面积成正比，由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与重量成正比。分别建立尾数和每尾鱼重的微分方程，并求解。
解：
尾数的(相对)减少率为常数，可得以下微分方程：
dn(t)??kn(t) dtword可编辑