学而思2013年春季素质123班难题汇总

第一讲 勾股定理

题型一：a+b＝c，小学阶段看到平方要想到:正方形面积、平方差公式。 题型二：毕达哥拉斯定理，毕达哥拉斯树。 题型三：立体图形的勾股。

题型四：折纸。两步解法：设一个未知数、利用平方差求解。

题型五：圆中的勾股，寻找由弦的端点、弦的中点、圆心构成的直角△。

22211、【第二单元，折纸，补充题】将B点折到AD边上的E点，E是五等分点，AE＝1，求三角形BCF的面积。 【难度级别】★★★☆☆

【解题思路】此题充分体现了“设一个未知数、利用平方差求解”的良好解题思路。

AE＝1，DE＝4，AD＝5，BC＝5，EC＝5。

在直角三角形EDC中，DE＝4，EC＝5，所以DC＝3。

AEFBDC设FB＝x，则在直角三角形AEF中，EF＝x，AF＝3-x， 1+(3?x)＝x，

x-(3?x)＝1，应用平方差公式，3(2x-3)＝1，x＝。

3222225三角形BCF的面积：××5＝。

623【答案】

1525256。

12、【第三单元3.天圆地方】在如下图的圆中，正方形ABCD的边长为8，圆心O到AB的距离为5，求正方形EFGH的面积。

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【难度级别】★★★★★

【解题思路】看到圆，找弦，找直角三角形。 设HG＝2x，圆的半径为R。

看弦HG，找直角三角形ONH，HN＝x，NO＝2x-5,

x+(2x?5)2＝R。如果能求出R就可以求出x。

2HNGOAEDMCBF22再看弦DC，找直角三角形OMD，OM＝5+8＝13，DM＝4，R＝13+4＝185。

222所以，x+(2x?5)＝185。到此，这个方程小学生不会解，可以尝试，也可以通过枚举进行筛选。1～13的平方分别是：1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169，从中找出2个相加＝185的，有：16+169、64+121。对于16+169，x＝4，2x-5＝3不满足，对于64+121，x＝8，2x-5＝11满足。因此，x＝8。

正方形EFGH的面积：(2x)＝16＝256。 【答案】256。

222213、【学案3】下图是一个长为16，宽为10的长方形，沿着图中虚线的位置将这个长方形折叠成一个等腰梯形，则这个梯形的面积是_______。 【难度级别】★★★☆☆

【解题思路】正下方的一个直角三角形，斜

10边是10，底边的直角边是8，所以另一条直角边是6。

设梯形的上底为2x，看正上方的一个直角

16三角形，一条直角边是x，另一条直角边是：10－6＝4，斜边是8-x，所以：

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x+4＝(8?x)2，利用平方差公式求解，(8?x)2-x＝4，8(8-2x)=16，x＝3。

2222 梯形的面积：(6+16)×10÷2＝110。 【答案】110。

14、【学案1】如图所示，直角三角形PQR的直角边为5厘米和9厘米，问图中3个正方形面积之和比4个三角形面积之和大多少？ 【难度级别】★★★★★

【解题思路】将斜的大正方形做弦图分割。 图中所有三角形面积均相等，那么图中3个正方形与4个三角形的面积之差为X、Y、Z三个正方形的面积和：5+9+(9?5)＝122cm。 【答案】122cm。

2222X52Y9Z15、【每日一题2】如图，直角三角形ABC中，两直角边长分别为7、24，三角形内一点P到各边的距离相等，则这个距离是_______。 【难度级别】★★★★☆

【解题思路】设P到各边的距离为X，则由连接的两条虚线的对称性得到,直接三角形的斜边为：(7-X)+(24-X)＝31-2X。

7+24＝49+576＝625＝25，所以斜

27-x7-xxxxx24-xx2224-x边边长为25。31-2X＝25，X＝3。 【答案】3。

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