【知识要点】 一、向量的关系

（1）平行向量（共线向量）：方向相等或相反的向量，叫平行向量.由于平行向量可以自由平移到一条直线上，所以平行向量又叫共线向量.共线向量不一定在一条直线上. （2）相等向量的定义：长度相等方向相同的向量叫做相等向量. （3）相反向量的定义：长度相等方向相反的向量叫做相反向量. 二、向量的数乘

rr（1）定义：求实数?与向量a的乘积的运算叫向量的数乘，记作?a.

（2）向量的数乘结果还是一个向量.

rrrr当??0时，?a与a的方向相同，且?a??a； rrrr当??0时，?a与a的方向相反，且?a???a.

rrr三、向量共线定理:如果向量a为非零的向量，那么向量b与向量a共线?有且只有一个实数?，使得

rrrrb??a(a?0)；

四、两个向量平行（共线）的充要条件

rrrrrr（1）如果a?0，则aPb的充要条件是有且只有一个实数?，使得b??a（没有坐标背景）.

rr（2）如果a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a||b的充要条件是x1y2?x2y1?0(坐标背景)

uuuruuuruuur (3)如果OA??1OB??2OC(?1??2?1),则A、B、C三点共线.反过来，该结论也成立.(注意uuuruuuruuurOA、OB、OC的起点必须相同)

五、两个向量垂直的充要条件

rrrrb?0（没有坐标背景） （1）a?b?agrrrr（2）设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a?b?x1x2?y1y2?0（(坐标背景).

【方法讲评】

方法一 使用情景 解题步骤 ??利用两个向量平行或垂直的充要条件（没有坐标背景） 已知条件没有涉及坐标. rrrrrrb?0 直接证明b??a(a?0)或ag?????【例1】 设两非零向量a和b不共线，如果AB＝a＋b，CD＝3（a－b），BC?2a?8b，求证：A、B、D三点共线.

??????????

uuuruuuruuur【点评】向量里证明A,B,C三点共线一般分两步证明：（1）先证明AB??AC(或kBC)；(2)说明uuuruuur两个向量有公共点A.其中第二步是不能省略的，因为AB??AC只能说明AB,AC平行或重合.所以必须

加上第2步才能说明它们三点共线.

【反馈检测1】设a、b是两个不共线的非零向量（t?R）

（1）记OA?a,OB?tb,OC?1(a?b),那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线？ 3?（2）若|a|?|b|?1且a与b夹角为120，那么实数x为何值时|a?xb|的值最小？

【例2】已知PQ过三角形OAB的重心G，且P、Q分别在OA、OB上，设

uuuruuuruuuruuur11OP?mOA,OQ?mOB,m、n?R,则?的值为 . nm

uuur1uuur1uuur【点评】（1）如果点G是三角形OAB的重心，则OG?OA?OB. 这个结论大家可以自己证明并把

3311它记下来，在客观题题中熟练运用. （2）要求?的值，要从已知条件中寻找等式，本题中从图形中P、

nmG、Q三点共线可以找到等式. 学科.网

【反馈检测2】如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是AB、AD上的点，且

uuuruuuruuuur3uuuruuur2uuurAM?AB,AN?AD,连接AC、MN交于点P点，若AP??AC，则?的值为（ ）

436633A.B.C.D.?

171375 方法二 使用情景 解题步骤 利用两个向量平行或垂直的充要条件（坐标背景） 已知条件涉及坐标. 直接证明x1y2?x2y1?0或x1x2?y1y2?0. ra【例3 】 已知?(1,2),b?(?3,2),当k为何值时，

rrrr（1）ka?b与a?3b垂直？