立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总

（一）立体几何中平行问题

证明直线和平面平行的方法有： ①利用定义采用反证法； ②平行判定定理；

③利用面面平行，证线面平行。 主要方法是②、③两法

在使用判定定理时关键是确定出面内的 与面外直线平行的直线. 常用具体方法：中位线和相似

例1、 P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.

求证：PC∥面BDQ.

证明：如图，连结AC交BD于点O.

∵ABCD是平行四边形，

∴AO=OC.连结OQ，则OQ在平面BDQ内， 且OQ是△APC的中位线， ∴PC∥OQ.

∵PC在平面BDQ外， ∴PC∥平面BDQ.

例2、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证：

(1)E、F、B、D四点共面； （2）面AMN∥面EFBD.

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证明:(1)分别连结B1D1、ED、FB，如图， 则由正方体性质得 B1D1∥BD. ∵E、F分别是D1C1和B1C1的中点， ∴EF∥11B1D1.∴EF∥BD. 22∴E、F、B、D对共面.

（2）连结A1C1交MN于P点，交EF于点Q，连结AC交BD于点O，分别连结PA、QO. ∵M、N为A1B1、A1D1的中点， ∴MN∥EF，EF?面EFBD. ∴MN∥面EFBD. ∵PQ∥AO,

∴四边形PAOQ为平行四边形. ∴PA∥OQ.

而OQ?平面EFBD，

∴PA∥面EFBD.且PA∩MN=P，PA、MN?面AMN， ∴平面AMN∥平面EFBD.

例3如图（1），在直角梯形P1DCB中，P1D//BC，CD⊥P1D，且P1D=8，BC=4，DC=4

6，

A是P1D的中点，沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置（如图（2）），使二面角P—CD—B成45°，设E、F分别是线段AB、PD的中点. 求证：AF//平面PEC；

证明：如图，设PC中点为G，连结FG，

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则FG//CD//AE，且FG=∴四边形AEGF是平行四边形 ∴AF//EG，

1CD=AE， 2又∵AF?平面PEC，EG?平面PEC， ∴AF//平面PEC

例4、 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP=DQ.求证：PQ∥面BCE.

证法一：如图（1），作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N,连接MN, 因为面ABCD∩面ABEF=AB,则AE=DB. 又∵AP=DQ, ∴PE=QB.

又∵PM∥AB∥QN, ∴∴

PMPEQNBQ,. ??ABAEDCBDPMQN. ?ABDC∴PM∥QN.四边形PMNQ为平行四边形. ∴PQ∥MN.

又∵MN?面BCE，PQ?面BCE， ∴PQ∥面BCE.

证法二：如图(2)，连结AQ并延长交BC或BC的延长线于点K，连结EK. ∵AD∥BC, ∴

DQAQ?. QBQK又∵正方形ABCD与正方形ABEF有公共边AB，且AP=DQ，

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