《微分几何》复习题与参考答案

一、填空题

1．极限lim[(3t2?1)i?t3j?k]?13i?8j?k．

t?22．设f(t)?(sint)i?tj，g(t)?(t2?1)i?etj，求lim(f(t)?g(t))? 0 ．

t?03．已知?r(t)dt=??1,2,3?， ?r(t)dt=??2,1,2?，a??2,1,1?，b??1,?1,0?，则

2446?42a?r(t)dt+b??a?r(t)dt=?3,?9,5?.

264．已知r?(t)?a（a为常向量），则r(t)?ta?c．

15．已知r?(t)?ta，（a为常向量），则r(t)? t2a?c．

26. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____. 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ .

9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线r?r(t)在t = 2处有??3?，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点(u0,v0)处ru?rv?0，则(u0,v0)为曲面的_ 正常______点. 12． 已知f(t)?(2?t)j?(lnt)k，g(t)?(sint)i?(cost)j，t?0，则

4d(f?g)dt?2?6cos4． ?dt013．曲线r(t)??2t,t3,et?在任意点的切向量为?2,3t2,et?． 14．曲线r(t)??acosht,asinht,at?在t?0点的切向量为?0,a,a?． 15．曲线r(t)??acost,asint,bt?在t?0点的切向量为?0,a,b?．

1x?ee?z?1． ?16．设曲线C:x?et,y?e?t,z?t2，当t?1时的切线方程为

1e2?ey?17．设曲线x?etcost,y?etsint,z?et，当t?0时的切线方程为x?1?y?z?1. 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F=M=0_ ______________. 19. u－曲线（v－曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ Edu+Fdv＝0（Fdu+Gdv＝0）__. 20. 在欧拉公式kn?k1cos2??k2sin2?中，?是 方向(d) 与u－曲线 的夹角. 21. 曲面的三个基本形式?,??,???、高斯曲率?、平均曲率?之间的关系是

????2H???K??0 .

22．已知r(u,v)??u?v,u?v,uv?，其中u?t2,v?sint，则

dr??2t?cost,2t?cost,2vt?ucost?． dt23．已知r(?,?)??acos?cos?,acos?sin?,asin??，其中??t，??t2，则

?asin?sin??2atcos?cos?,acos??．

dr(?,?)???asin?cos??2atcos?sin?,dt24．设r?r(u,v)为曲面的参数表示，如果ru?rv?0，则称参数曲面是正则的；如果

r:G?r(G) 是 一一对应的 ，则称曲面是简单曲面．

25．如果u?曲线族和v?曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为 正规坐标网 ． 26．平面r(u,v)??u,v,0?的第一基本形式为du2?dv2，面积微元为dudv． 27．悬链面r(u,v)??coshucosv,coshusinv,u?第一基本量是

E?cosh2u，F?0,G?cosh2u．

28．曲面z?axy上坐标曲线x?x0，y?y0的交角的余弦值是a2x0y0(1?ax0)(1?ay0)2222.

29．正螺面r(u,v)??ucosv,usinv,bv?的第一基本形式是du2?(u2?b2)dv2． 30．双曲抛物面r(u,v)??a(u?v),b(u?v),2uv?的第一基本形式是

(a2?b2?4v2)du2?2(a2?b2?4uv)dudv?(a2?b2?4u2)dv2．

31．正螺面r(u,v)??ucosv,usinv,bv?的平均曲率为 0 ．

32．方向(d)?du:dv是渐近方向的充要条件是kn(d)?0或Ldu2?2Mdudv?Ndv2?0． 33. 方向(d)?du:dv和(δ)?δu:δv共轭的充要条件是

II(dr,δr)?0或Lduδu?M(duδv?dvδu)?Ndvδv?0．

34.?是主曲率的充要条件是

?E?L?F?M?F?M?0．

?G?N35.(d)?du:dv是主方向的充要条件是

dv2Edu?FdvLdu?Mdv?0或EFdu?GdvMdu?NdvL?dudvdu2FG?0． MN36. 根据罗德里格斯定理，如果方向(d)?(du:dv)是主方向，则

dn??kndr，其中kn是沿方向(d)的法曲率．

37．旋转曲面中的极小曲面是平面 或悬链面．

38．测地曲率的几何意义是曲面S上的曲线在P点的测地曲率的绝对值等于(C)在P点的

切平面?上的正投影曲线(C*)的曲率．

39．k,kg,kn之间的关系是k2?kg2?kn2．

40．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 0 ． 41．正交网时测地线的方程为

EvGu?d?=cos??sin??ds2EG2GE??ducos?． ?=E?ds?dvsin??=G?ds42．曲线是曲面的测地线，曲线(C)上任一点在其切平面的正投影曲线是 直线 .

二、单项选择题

1．已知r(t)??et,t,e?t?，则r??(0)为（ A ）．

A. ?1,0,1?； B. ??1,0,1?； C. ?0,1,1?； D. ?1,0,?1?. 2．已知r?(t)??r(t)，?为常数，则r(t)为（ C ）．

A. ?ta； B. ?a； C. e?ta； D. e?a. 其中a为常向量．

3. 曲线(C)是一般螺线，以下命题不正确的是（ D ）．

A．切线与固定方向成固定角； B．副法线与固定方向成固定角； C．主法线与固定方向垂直； D．副法线与固定方向垂直． 4. 曲面在每一点处的主方向（ A ）

A．至少有两个； B．只有一个； C．只有两个； D．可能没有. 5．球面上的大圆不可能是球面上的（ D ）

A．测地线； B．曲率线； C．法截线； D．渐近线．. 6. 已知r(x,y)??x,y,xy?，求dr(1,2)为（ D ）．

A. ?dx,dy,dx?2dy?； B. ?dx?dy,dx?dy,0?； C. ?dx-dy,dx+dy,0?； D. ?dx,dy,2dx?dy?. 7．圆柱螺线r??cost,sint,t?的切线与z轴（ C ）.

A. 平行； B. 垂直； C. 有固定夹角

??； D. 有固定夹角. 438．设平面曲线C:r?r(s)，s为自然参数，?,?是曲线的基本向量．叙述错误的是（ C ）．

A. ?为单位向量； B. ???； C. ???k?； D. ???k????. 9．直线的曲率为（ B ）．