基本初等函数知识点总结

一、指数函数的概念

（1）、指数函数的定义

一般地，函数 y ? a （ a ? 0 ，且 a ? 1）叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定

x

义域是 R 。

（2）、因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数，所以在底数 a ? 0 且 a ? 1

x

的前提下， x ? R 。

（3）、指数函数 y ? a （ a ? 0 且 a ? 1）解析式的结构特征 1、底数：大于 0 且不等于1的常数。 2、指数：自变量 x 。 3、系数：1。

二、指数函数的图象与性质

一般地，指数函数 y ? a （ a ? 0 ，且 a ? 1）的图象与性质如下表：

x

a 性质 a ?1 0 ? a ?1 定义域是 R ，值域是 ?0，???? ，即 x ? 0 时 y ?1 过点 0，1 ? ? 当 x ? 0 时， y ?1 当 x ? 0 时， 0 ? y ?1 当 x ? 0 时， 0 ? y ?1 当 x ? 0 时， y ?1 在 R 上是减函数

在 R 上是增函数 三、幂的大小比较方法

比较幂的大小常用方法有：（1）、比差（商）法；（2）、函数单调性法；（3）、中间值法：要比较 A 与 B 的大小，先找一个中间值 C ，再比较 A 与 C 、 B 与 C 的大小，由不等式的传递性得到 A 与 B 之间的大小。

四、底数对指数函数图象的影响

（1）、对函数值变化快慢的影响

1、当底数 a ?1时，指数函数 y ? a 是 R 上的增函数，且当 x ? 0 时，底数 a 的值越大，

x

函数图象越“陡”，说明其函数值增长得越快。

2、当底数 0 ? a ?1时，指数函数 y ? a 是 R 上的减函数，且当 x ? 0 时，底数 a 的值

x

越小，函数图象越“陡”，说明其函数值减小得越快。

（2）、对函数图象变化的影响

指数函数 y ? a 与 y ? b 的图象的特点：

1、 a ? b ?1时，当 x ? 0 时，总有 0 ? a ? b ?1；当 x ? 0 时，总有 a ? b ?1；当

x

x

x

x

xx

x ? 0 时，总有 a x ? bx ?1。

2、 0 ? a ? b ?1时，当 x ? 0 时，总有 a ? b ?1；当 x ? 0 时，总有 a ? b ?1；当

x

x

x

x

x ? 0 时，总有 0 ? a x ? bx ?1。

五、对数的概念

（1）、对数：一般地，如果 a ? N （ a ? 0 ，且 a ? 1），那么数 x 叫做以 a 为底 N 的

x

对数，记作 x ? loga N ，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数。

（2）、常用对数：我们通常把以10 为底的对数叫做常用对数，为了简便， N 的常用对

数 log10 N 简记为 lg N 。

（3）、自然对数：我们通常把以无理数 e（ e ? 2.71828

然对数，

）为底的对数称为自

为了简便， N 的自然对数 loge N 简记为 ln N 。

六、对数的基本性质

根据对数的定义，对数 loga N （ a ? 0 ， a ? 1）具有如下性质：

1、 0 和负数没有对数，即 N ? 0 ；2、

1的对数是 0 ，即 log a 1 ? 0 ；

3、底数的对数等于1，即 log a a ?1；

4、对数恒等式：如果把 a ? N 中的 b 写成 loga N ，则 a

blogaN

? N 。

七、对数运算性质

如果 a ? 0 且 a ? 1， M ? 0 ， N ? 0 ，那么（1）、 log a ?MN ? ? log a M ? loga N ；

（2）、 log a M

N ? log a M ? loga N ；

n

（3）、 log a M ? n loga M （ n ? R ）。

八、换底公式