数与式

教学准备

一 教学目标：

（1）了解：能从具体事例中，知道或能举例说明对象的有关特征（或意义）；能根据对象的特征，从具体情境中辨认出这一对象。

（2）理解：能描述对象特征和由来；能明确地阐述此对象与有关对象之间的区别和联系。 （3）掌握：能在理解的基础上，把对象运用到新的情境中。

（4）灵活运用：能综合运用知识，灵活、合理地选择与运用有关的方法完成特定的数学任务。 二 知识要点

1.实数的有关概念 （1）实数分类

???正整数???整数?零???负整数?有理数????实数?------（有限小数和无限循环小数） ?正分数???分数????负分数????无理数－无限不循环小数实数还可以分为：正实数、零、负实数；有理数还可以分为：正有理数、零、负有理数。解题中需考虑数

的取值范围时，常常用到这种分类方法。特别要注意0是自然数。

（2）数轴

数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。实数与数轴上的点是一一对应的，这种一一对应关系是数学中把数和形结合起来的重要基础。在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（3）绝对值 ?a(a?0)绝对值的代数意义： |a|???0(a?0) ??a(a?0)?

绝对值的几何意义：一个数的绝对值是这个数在数轴上的对应点到原点的距离。 （4）相反数、倒数

相反数以及倒数都是成对出现的，零的相反数是零，零没有倒数。“任意一对相反数的和是零”和“互为倒数的两个数的积是1”的特性常作为计算与变形的技巧。

（5）三种非负数

|a|、a2、a（a?0）形式的数都表示非负数。“几个非负数的和（积）仍是非负数”与“几个非负数

的和等于零，则必定每个非负数都同时为零”的结论常用于化简求值。

（6）平方根、算术平方根、立方根的概念 2.实数的运算

（1）实数的加、减、乘、除、乘方、开方运算，整数指数幂的运算。 （2）有理数的运算法则在实数范围仍然适用；实数的运算律、运算顺序。 （3）加法及乘法的运算律可用于实数运算的巧算。

（4）近似数的精确度、有效数字、科学记数法的形式为a?10（其中1?|a|?10，n为整数）。 （5）实数大小的比较：两个实数比较大小，正数大于零和一切负数；两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小。常用方法：①数轴图示法。②作差法。③平方法等。

n例题精讲

2（x?4）?y?1?0，求x+2y的值。 例1.已知x、y是实数，且满足

22因为(x?4)?0，y?1?0又(x?4)?y?1?0 解：

所以(x?4)2?0，y?1?0 所以x?4，y?1 所以x?2y?4?2?1?6

说明：这是一个条件求值问题，利用非负数的性质可求出x、y的值，从而问题可解。

例2.2005年10月12日9时15分许，我国“神舟”六号载人飞船发射成功，飞船在太空共绕地球77圈，飞行路程约为330万千米，用科学记数法表示，结果保留三位有效数字，则“神舟”六号飞船绕地球平均每圈约飞行（）

44554.28?10千米4.29?10千米4.29?10千米 4.28?1?千米A.B.C.D.

简析：330万千米＝3300000千米，3300000÷77≈42857保留三位有效数字用科学记数法表示为

4.29?104。

解：选B。 说明：运用近似数和有效数字表示生活中的数据问题，是新课标的主要内容之一。本题综合运用了近似数、有效数字、科学记数法等知识。

221221例3.计算： 2

解：

（）?（?1）?（?）??（?15.）32322121（）2?（?1）?（?）2??（?15.2）3232???43419?（?）???92924431?（??1?）9224?（?2）989

??说明：进行计算时，首先要注意观察题目中有哪几种运算，思考有无简便方法，然后确定运算顺序。注意遇到同一级运算时，应按自左向右的顺序进行计算，并要随时检查运算结果的符号。

例4.比较下列实数大小：

（1）?199与?；（2）35与422814

解：（1）解1（作差法）：

因为19919?9?21199????0所以?281428282814 199因此???2814

解2（作商法）：

19191419因为28????1919928918所以?281414

（2）解1（平方法）：

因此?199??2814因为（35）2?45，（43）2?48

又45?48，35?0，43?0所以35?43

解2（比较被开方数法）：

因为35?32?5?45，43?42?3?48又48?45所以48?45

因此43?35

说明：比较两个分数的大小，还可以化为小数或同分子的分数、同分母的分数来比较。

1，?例5.请你将第1行1

11111，，?，，?23456按一定规律排列如下：

11第2行23

?111?6 第3行45?1111??8910 第4行711111??12131415 第5行11111111??18192021 第6行1617?……

则第20行第十个数是多少？

解：观察①每行的数的个数与行数相同；②每个数的分母都是自然数呈递增趋势；③分母为偶数的数为负数；④每行最后一个数的分母是每行个数之和。

所以第19行最后一个数的分母为

1?2?3?……?19?（1?19）?19?1902

11?第20行第一个数就为191，第20行第十个数就为200

例6.实数a、b、c在数轴上

B C A 化简：

0 1 对应的点分别是A、B、C，其位置如图所示。

试

|c|?|c?b|?|a?c|?|b?a|。

解：由图可知：a?0，b?0，c?0，b?c，|b|?|a|，|c|?|a|

所以|c|??c，|c?b|??c?b |a?c|?a?c，|b?a|??b?a 所以|c|?|c?b|?|a?c|?|b?a|??c?c?b?a?c?b?a??c

说明：这类绝对值化简问题，关键是脱去绝对值的符号，转化为一般的实数运算，而脱去绝对值的符号，

又得先判定绝对值符号中各个数的正负性，本题无论是数形结合还是绝对值问题的化简都很有代表性。

例7.现定义两种运算“?”“?”对任意两个整数a,b，有a?b?a?b?1，a?b?ab?1 求4?[（6?8）?（3?5）]的值。 解：由a?b?a?b?1知6?8?6?8?1?13

由a?b?ab?1知3?5?3?5?1?14

?4?[（6?8）?（3?5）]?4?（13?14）?4?（13?14?1）?4?26?4?26?1?103

课后练习

（一）、精心选一选

1.在1，?1，?2这三个数中，任意两数之和的最大值为（ ） A.1 B.0 C. ?1 D.?3 2.一个有理数的平方与它的立方相等，这样的有理数是（）

A.0，1 B.?1，0 C.1，?1 D.?1，1，0

3.有一种记分方法：以80分为基准，85分记为+5分，某同学得77分，则应记为（ ）

A.+3分 B.?3分 C.+7分 D.?7分

c -b 0 a 4.已知：如图所示，a、b、c的大小关系为（ ）

A.a?b?c B.a?c?b C.c?a?b D.c?b?a

5.计算：?2?3?(?2?3)的结果为（ ） A.0 B.?54 C.?72 D.?18 6.如果式子5?x是二次根式，则x应满足的条件是（ ） A.x?5 B.x?5 C.x?5 D.x?5

2293±5”下列表达式中正确的一项是（ ） 7.对于叙述“25的平方根是

93939393?±±?±±??5 B.255 C.255 D.255 A.258.如果a是有理数，则|a|?a的值必是（ ）

A.负数 B.非负数 C.正数 D.非正数

（二）、细心填一填

9.在数轴上，与表示?3的点的距离为4的点所表示的数为_____________。 10.36的平方根是________81的算术平方根是________ 11.若?3?2x有平方根，则x________

12.计算：(26)?___________，(?37)?___________，(3?2)?_________。 13.化简的二次根式12a3b2c＝_________

2|a?3|?2(a?b?4)?0，则a?b的值=_____________。 14.若

22215.某商品标价为800元，现按九折销售，仍可获利20%，则这种商品的进价为_____元。

（三）、用心做一做 16.计算：

1?2?1?313??1?1??????24(?3)3?2?????22?????864??3? 4?3?（1）24 （2）

2123141÷2×1?3a·12a33543（3） （4）