第一章 热力学的基本规律

1.1 试求理想气体的体胀系数?,压强系数?和等温压缩系数??。 解：已知理想气体的物态方程为

pV?nRT, （1）

由此易得

??1??V?nR1??, （2） ??V??T?ppVT1??p?nR1??, （3） ??p??T?VpVT???T????????????. （4） V??p?T?V??p2?p1??V??1??nRT?1

1.2 证明任何一种具有两个独立参量T,p的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数?及等温压缩系数??，根据下述积分求得：

lnV=??αdT?κTdp?

如果??,?T?1T1，试求物态方程。 p解：以T,p为自变量，物质的物态方程为

V?V?T,p?,

其全微分为

??V???V?dV??dT???dp. （1） ???T?p??p?T全式除以V，有

dV1??V?1??V???dT???dp. ?VV??T?pV??p?T根据体胀系数?和等温压缩系数?T的定义，可将上式改写为

1

dV??dT??Tdp. （2） V上式是以T,p为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有

lnV????dT??Tdp?. （3）

若??,?T?，式（3）可表为

?11?lnV???dT?dp?. （4）

p??T1T1p选择图示的积分路线，从(T0,p0)积分到?T,p0?，再积分到（T,p），相应地体

积由V0最终变到V，有

lnVTp=ln?ln, V0T0p0即

pVp0V0??C（常量）， TT0或

? pV1T1pC. T （5）

式（5）就是由所给??,?T?求得的物态方程。 确定常量C需要进一步的实验数据。

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1.3 在0C和1pn下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为

?5?1?7??4.85?10K和?T?7.8?10pn?1?.和?T可近似看作常量，今使铜块加热至10C。

问：

（a）压强要增加多少pn才能使铜块的体积维持不变？（b）若压强增加100pn，铜块的体积改变多少？

a）根据1.2题式（2），有

dV??dT??Tdp. （1） V上式给出，在邻近的两个平衡态，系统的体积差dV，温度差dT和压强差dp之间的关系。如果系统的体积不变，dp与dT的关系为

dp??dT. （2） ?T在?和?T可以看作常量的情形下，将式（2）积分可得

p2?p1???T2?T1?. （3） ?T将式（2）积分得到式（3）首先意味着，经准静态等容过程后，系统在初态和终态的压强差和温度差满足式（3）。 但是应当强调，只要初态?V,T1?和终态?V,T2?是平衡态，两态间的压强差和温度差就满足式（3）。 这是因为，平衡状态的状态参量给定后，状态函数就具有确定值，与系统到达该状态的历史无关。 本题讨论的铜块加热的实际过程一般不会是准静态过程。 在加热过程中，铜块各处的温度可以不等，铜块与热源可以存在温差等等，但是只要铜块的初态和终态是平衡态，两态的压强和温度差就满足式（3）。

将所给数据代入，可得

4.85?10?5p2?p1??10?622pn.

7.8?10?7因此，将铜块由0C加热到10C，要使铜块体积保持不变，压强要增强622pn

（b）1.2题式（4）可改写为

?V???T2?T1???T?p2?p1?. （4） V1将所给数据代入，有

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